Question

设m是整数，关于x的方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，则方程的根为（　　）

• A、x1=

  1

  2

  ，x2=

  1

  3

• B、x=-1
• C、x1=-1，x2=

  1

  2

  ，x3=

  1

  3

• D、有无数个根

Answer 1

分析：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，则△=b²-4ac为完全平方数，即△=（m-1）²-4m=（m-3）²-8为完全平方数，设（m-3）²-8=n²，即（m-3）²=8+n²，而m是整数，完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9，经过分析得到m-3=3，即m=6，方程为：6x²-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，解得x₁=

1

2

，x₂=

1

3

．

解答：解：（1）当m=0，原方程变为：x+1=0，
解得x=-1，为有理根；
（2）当m≠0，原方程为一元二次方程，
∵方程mx²-（m-1）x+1=0有有理根，
∴△=b²-4ac为完全平方数，即△=（m-1）²-4m=（m-3）²-8为完全平方数，
而m是整数，
∴设（m-3）²-8=n²，即（m-3）²=8+n²，
∴完全平方数的末位数只能为1，4，5，6，9．
∴n²的末位数只能为1，6，而大于10的两个完全平方数相差大于8，
∴n=1，
∴m-3=3，即m=6，
所以方程为：6x²-5x+1=0，（2x-1）（3x-1）=0，
∴x₁=

1

2

，x₂=

1

3

，
故选C．

点评：本题考查了一元二次方程有有理根的条件：△=b²-4ac为完全平方数．也考查了分类讨论的思想的运用和一元二次方程的解法．