题目内容
(2007•西城区一模)如图,在直角坐标系xoy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴上,且OC=
,tan∠OAC=
,将△OAC沿AC翻折使点O落在坐标平面内的B点处.
(1)求B点的坐标;
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过O、B、A三点,求这个二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象上是否存在一点P,使以P、A、B、O为顶点的四边形为梯形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
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(1)求B点的坐标;
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过O、B、A三点,求这个二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象上是否存在一点P,使以P、A、B、O为顶点的四边形为梯形?若存在,求出P点坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)由tan∠OAC=
,OC=
,即可得∠OAC=30°,OA=4,又由将△OAC沿AC翻折使点O落在坐标平面内的B点处,根据折叠的性质,易得△OAB是等边三角形,即可求得点B的坐标;
(2)利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式;
(3)由B为抛物线顶点,可得OA不可能为梯形的底,然后分别从①当OB∥P1A时与②当OP2∥BA时去分析求解即可求得答案.
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(2)利用待定系数法即可求得这个二次函数的解析式;
(3)由B为抛物线顶点,可得OA不可能为梯形的底,然后分别从①当OB∥P1A时与②当OP2∥BA时去分析求解即可求得答案.
解答:解:(1)∵tan∠OAC=
,
∴∠OAC=30°
∵OC=
,
∴OA=
=4,
由△OAC沿AC翻折知,OB⊥AC,
∴∠BOA=60°,∠OAB=2∠OAC=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OB=OA=4,
∵xB=OB•cos∠BOA=2,yB=OB•sin∠BOA=2
,
∴B(2,2
);
(2)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过O、B、A三点,
∴设其为y=ax2+bx,
∵A(4,0),B(2,2
),
将其代入,得
,
解得
,
∴y=-
x2+2
x;
(3)若存在点P使四边形PABO为梯形,
∵B为抛物线顶点,
∴OA不可能为梯形的底,
①当OB∥P1A时,有∠OAD=60°,
设AP1交y轴于点D,
∵OA=4,
∴D(0,-4
)
设过A、D的直线解析式为y=kx+b(k≠0),
∴
,
解得:
,
∴直线AD的解析式为:y=
x-4
,
∵P1是二次函数图象与直线AD的交点,
∴
,
解得:
或
,
∵A(4,0),
∴P1(-2,-6
);
过P1作PM⊥x轴于M点,则线段P1M=6
,
∴线段P1A=12,OB=4,
在四边形P1ABO中,BO∥AP1,且BO≠AP1,
∴四边形P1ABO是梯形;
②当OP2∥BA时,
∵直线AB的解析式为:y=-
x+4
,
∴直线OP2的解析式为:y=-
x,
∴
,
解得:
或
,
∵O(0,0),
∴P2(6,-6
),
∴OP2=
=12,
∵AB=4,
∴四边形P2ABO是梯形.
综上:P1(-2,-6
),P2(6,-6
).
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∴∠OAC=30°
∵OC=
4
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∴OA=
OC |
tan∠OAC |
由△OAC沿AC翻折知,OB⊥AC,
∴∠BOA=60°,∠OAB=2∠OAC=60°,
∴△OAB是等边三角形,
∴OB=OA=4,
∵xB=OB•cos∠BOA=2,yB=OB•sin∠BOA=2
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∴B(2,2
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(2)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象经过O、B、A三点,
∴设其为y=ax2+bx,
∵A(4,0),B(2,2
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将其代入,得
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解得
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∴y=-
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(3)若存在点P使四边形PABO为梯形,
∵B为抛物线顶点,
∴OA不可能为梯形的底,
①当OB∥P1A时,有∠OAD=60°,
设AP1交y轴于点D,
∵OA=4,
∴D(0,-4
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设过A、D的直线解析式为y=kx+b(k≠0),
∴
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解得:
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∴直线AD的解析式为:y=
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∵P1是二次函数图象与直线AD的交点,
∴
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解得:
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∵A(4,0),
∴P1(-2,-6
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过P1作PM⊥x轴于M点,则线段P1M=6
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∴线段P1A=12,OB=4,
在四边形P1ABO中,BO∥AP1,且BO≠AP1,
∴四边形P1ABO是梯形;
②当OP2∥BA时,
∵直线AB的解析式为:y=-
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∴直线OP2的解析式为:y=-
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∴
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解得:
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∵O(0,0),
∴P2(6,-6
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∴OP2=
OA2+OP22 |
∵AB=4,
∴四边形P2ABO是梯形.
综上:P1(-2,-6
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点评:此题考查了待定系数法求函数的解析式、等边三角形的判定与性质、梯形的性质、勾股定理以及三角函数等知识.此题综合性很强,难度较大,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
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