题目内容
【题目】如图,在梯形ABCD中,已知AD∥BC,AB=DC,AD=2,BC=4,延长BC到E,使CE=AD.
(1)写出图中所有与△DCE全等的三角形,并选择其中一对说明全等的理由;
(2)探究:当梯形ABCD的高DF等于多少时,对角线AC与BD互相垂直?请回答并说明理由.
【答案】(1)△CDA≌△DCE,△BAD≌△DCE,见解析;(2)当 DF=3 时,AC⊥BD,见解析.
【解析】
(1)与△DCE全等的三角形有:△CDA≌△DCE,△BAD≌△DCE,可以用全等三角形的判定方法来进行验证.
(2)需要根据已知条件及等腰梯形的性质,平行四边形的性质得出BF=FE=3,因为DF=3,则∠BDF=∠DBF=45°,∠EDF=∠DEF=45°,从而推出∠BDE=∠BDF+∠EDF=90°,根据平行的性质得出∠BGC=∠BDE=90°,即AC⊥BD.
解:(1)△CDA≌△DCE,△BAD≌△DCE.
∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECD.
∵CE=DA,DC=CD,
∴△CDA≌△DCE.
(2)当 DF=3 时,AC⊥BD.
理由如下:
∵AD∥BC,AB=CD,∴AC=BD.
∵AD∥BC,CE=AD,∴四边形 ACED 为平行四边形
∴AC=DE,∴BD=DE.
∵DF=3,∴DF=BF=EF.
∴∠DBF=∠BDF=45°,∠E=∠EDF=45°.
∴∠BDE=90°.∴BD⊥DE.
∵AC∥DE,∴AC⊥BD.

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