题目内容
请同学们判断下列各式是否成立：
(1)＝2；(2)＝3；(3)＝4；(4)＝3．
经过计算可知，(1)、(2)、(3)式是成立的；(4)式是不成立的．这说明在二次根式的化简运算中要特别注意，根号里面的数是不能轻易地放到根号外面来的．
细心的同学可能会想，什么情况下根号里面的数能放到根号外面来呢？(1)、(2)、(3)式的成立仅仅是巧合吗？其中会有什么规律吧？我们来分析一下前三个式子的运算过程：
(1)＝＝＝2；
(2)＝＝＝3；
(3)＝＝＝4．
通过把带分数化成假分数的分数运算和分子开方运算验证了这些式子是成立的．
我们再来观察前三个等式左边根号内分数的特点．在三个带分数2、3、4中：
(1)整数部分与分数部分的分子相等：
2＝2，3＝3，4＝4；
(2)整数部分与分数部分的分母有下列关系：
3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1．
根据上面的分析和观察，我们不妨观察5＋＝5，式子＝5是不是也成立？
＝＝＝5
确实是成立的！
大胆地猜想一下，对于一般的形式a＋(a为大于1的整数)，式子
＝a
还会成立吗？我们来验证一下：
＝＝
＝＝a
(a为大于1的整数)．
太妙啦！我们的猜想是正确的．
那么，下列各式成立吗？
能不能由此得出下面的结论呢？
同学们可能还会不满足，还会有更大胆的猜想！那就试试看吧．不要忘记，猜想成为真理，是要经过严格证明的．
在课外小组活动时，小伟拿来一道题（原问题）和小熊、小强交流.原问题：如图1，已知△ABC, ∠ACB＝90°, ∠ABC＝45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE, 且DA＝DB, EB＝EC，∠ADB＝∠BEC＝90°，连接DE交AB于点F. 探究线段DF与EF的数量关系.小伟同学的思路是：过点D作DG⊥AB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解.小熊同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小强同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况.请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：【小题1】写出原问题中DF与EF的数量关系【小题2】如图2，若∠ABC＝30°，∠ADB＝∠BEC＝60°，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；【小题3】如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
【分析】根据菱形的四条边都相等，先判定△ABD是等边三角形，再根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°，再求出DF=CE，然后利用“边角边”即可证明△BDF≌△DCE，从而判定①正确；根据全等三角形对应角相等可得∠DBF＝∠EDC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可以求出∠DMF＝∠BDC＝60°，再根据平角等于180°即可求出∠BMD＝120°，从而判定②正确；根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质求出∠ABM＝∠ADH，再利用“边角边”证明△ABM和△ADH全等，根据全等三角形对应边相等可得AH＝AM，对应角相等可得∠BAM＝∠DAH，然后求出∠MAH＝∠BAD＝60°，从而判定出△AMH是等边三角形，判定出③正确；根据全等三角形的面积相等可得△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，然后判定出④错误．
【解答】在菱形ABCD中，∵AB＝BD，
∴AB＝BD＝AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴根据菱形的性质可得∠BDF＝∠C＝60°，
∵BE＝CF，
∴BC－BE＝CD－CF，
即CE＝DF，
在△BDF和△DCE中，CE＝DF；∠BDF＝∠C＝60°；BD＝CD，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；
∴∠DBF＝∠EDC，
∵∠DMF＝∠DBF＋∠BDE＝∠EDC＋∠BDE＝∠BDC＝60°，
∴∠BMD＝180°－∠DMF＝180°－60°＝120°，故②小题正确；
∵∠DEB＝∠EDC＋∠C＝∠EDC＋60°，∠ABM＝∠ABD＋∠DBF＝∠DBF＋60°，
∴∠DEB＝∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH＝∠DEB，
∴∠ADH＝∠ABM，
在△ABM和△ADH中，AB＝AD；∠ADH＝∠ABM；DH＝BM，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH＝AM，∠BAM＝∠DAH，
∴∠MAH＝∠MAD＋∠DAH＝∠MAD＋∠BAM＝∠BAD＝60°，
∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，
又∵△AMH的面积＝AM·AM＝AM2，
∴S四边形ABMD＝AM2，S四边形ABCD≠S四边形ABMD，故④小题错误，
综上所述，正确的是①②③共3个．
故选C．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目较为复杂，特别是图形的识别有难度，从图形中准确确定出全等三角形并找出全等的条件是解题的关键．
在Rt△ABC中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：
（1）已知a＝4，b＝2，则c= ；
（2）已知a＝10，c＝10，则∠B= ；
（3）已知c＝20，∠A＝60°，则a= ；
（4）已知b＝35，∠A＝45°，则a= ；
＝2
；(2)
＝3
；(3)
＝4
；(4)
＝3
．
＝
＝
＝2
；
＝
＝
＝3
；
＝
＝
＝4
．
、3
、4
中：
＝5
，式子
＝5
是不是也成立？
＝
＝
＝5
(a为大于1的整数)，式子
＝a
＝
＝
＝a
＝2
；(2)
＝3
；(3)
＝4
；(4)
＝3
．
＝a
AM·
AM＝
AM2，
，b＝2
，则∠B= ；