题目内容
已知：如图，△BCE、△ACD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形，且BE=AD，△CDE是等边三角形．求证：△ABC是等边三角形．
分析：根据等边三角形CDE的性质、等量代换求得∠3=∠1=60°；然后由全等三角形Rt△BCE和Rt△ACD推知对应边BC=AC；据此可以判定△ABC是等边三角形．
解答：
证明：∵△CDE是等边三角形，
∴EC=CD，∠1=60°．（1分）
∵BE、AD都是斜边，
∴∠BCE=∠ACD=90°（1分）
在Rt△BCE和Rt△ACD中，
（1分）
∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL）．（1分）
∴BC=AC．（1分）
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1=60°．（1分）
∴△ABC是等边三角形．
证明：∵△CDE是等边三角形，∴EC=CD，∠1=60°．（1分）
∵BE、AD都是斜边，
∴∠BCE=∠ACD=90°（1分）
在Rt△BCE和Rt△ACD中，
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∴Rt△BCE≌Rt△ACD（HL）．（1分）
∴BC=AC．（1分）
∵∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，
∴∠3=∠1=60°．（1分）
∴△ABC是等边三角形．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．等边三角形的判定可以通过三个内角相等，三条边都相等或者两条相等的边之间的夹角是60°等方法．
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