Question

【题目】如图1，在ABCD中，AB=2，BC=6，∠D=60°，点E从B点出发沿着线段BC每秒1个单位长度的速度向C运动，同时点F从B点出发沿着射线BC每秒2单位长度的速度向C运动，以EF为边在直线BC上方作等边△EFG，设点E、F的运动时间为t秒，其中0＜t≤4．

（1）当t=　　　　秒时，点G落在线段AD上；

（2）如图2，连接BG，试说明：无论t为何值，BG始终平分∠ABC；

（3）求△EFG与ABCD重叠部分面积y与t之间的函数关系式，当t取何值时，y有最大值？并求出y的最大值．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）理由见解析；（3）y；当t时，y的最大值为：．

【解析】

（1）设等边三角形的边长为a，等边△EFG的边长为t，当点G落在线段AD上，即等边△EFG的高等于ABCD的高.

（2）如图1，△GEF为边长为t的等边三角形，BE=t=EF=GE，则∠GBE=∠EGB，即可求解；
（3）①当0＜t≤2时，重叠部分为△EFG，y=S△EFG=t2；②当2＜t≤3时，如图2，重叠部分为四边形HMEF，y=S△EFG-S△HMG=t2-（t-2）2=t-；③当3＜t≤4时，y=S△GEF-（S△GHM+S△MND+S△NCF），即可求解．

（1）设等边三角形的边长为a，则面积为：a2，

ABCD的高为ABsin∠ABC=ABsin∠D

等边△EFG的边长为t，则高为t

当点G落在线段AD上，t，解得：t=2．

故答案为：2；

（2）如图1，△GEF为边长为t的等边三角形，

BE=t=EF=GE，则∠GBE=∠EGB，

∠GBE=60°=2∠GBE=2∠EGB，

故∠GBE=30°，而∠ABC=∠D=60°，

∠ABG=∠GBE=30°，

∴BG始终平分∠ABC；

（3）△EFG始终为边长为t的等边三角形，则S△EFGt2，

①当0＜t≤2时，重叠部分为△EFG，

y=S△EFGt2；

此时，当t=2时，y最大值为；

②当2＜t≤3时，如图2，重叠部分为四边形HMEF，

则△HMG为边长为(t﹣2)的等边三角形，

则y=S△EFG﹣S△HMGt2(t﹣2)2t；

当t=3时，y的最大值为：2；

③当3＜t≤4时，

△GMH、△MND、△FCN均为等边三角形，

△GMH的边长HG=GE﹣HE=GE﹣AB=t﹣2，

△FCN的边长FC=EF﹣EC=t﹣(6﹣t)=2t﹣6，

△MND的边长MN=MF﹣NF=2﹣(2t﹣6)=8﹣2t，

y=S△GEF﹣(S△GHM+S△MND+S△NCF)[t2﹣(t﹣2)2﹣(2t﹣6)2﹣(8﹣2t)2]=﹣2t2+15t﹣26，

当t时，y的最大值为：；

综上，y；

当t时，y的最大值为：．