题目内容

(附加题)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小精英家教网圆于点C,过点C作直线CE⊥AD,垂足为E,交大圆于F,H两点.
(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:FC•CH=AE•AO;
(3)若FC,CH是方程x2-2
5
x+4=0的两根(CH>CF),求图中阴影部分图形的周长.
分析:(1)相等,主要根据是垂径定理,从已知条件中可知AB为大圆的弦,且垂直于半径,所以相等.
(2)利用切线定理,和相交弦定理就可证明.
(3)先解方程求出根,再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段,分别计算相加.
解答:(1)解:相等.(1分)
连接OC,则CO⊥AB,故AC=BC.

(2)证明:连接FB,AH,精英家教网C0,
∵∠FBA=∠AHF,∠FCB=∠HCA,
∴△ACH∽△FCB,
∴AC•CB=FC•CH=AC2
∵∠ACO=∠CEA=90°,∠CAO=∠CAO,
∴△ACE∽△AOC,得AC2=AE•AO.
∴FC•CH=AE•AO.

(3)解:解方程得:CH=
5
+1,CF=
5
-1,
CE=EF-FC=EH-FC=
5
-(
5
-1)=1,AC2=4,AC=2,
在Rt△ACE中,sinA=
CE
AC
=
1
2

∴∠A=30°,∴∠AOC=60°,∠CON=120°.
在△ACO中,CO=AC•tanA=2×
3
3
=
2
3
3

AO=
AC
sin60°
=
4
3
3
,AM=AO-OM=
4
3
3
-
2
3
3
=
2
3
3

CN
长=
1
3
×2π•
2
3
3
=
4
3
9
π

AN=AM+2OC=
2
3
3
+2×
2
3
3
=2
3

阴影部分周长=AC+AN+
CN
=2+2
3
+
4
3
9
π
点评:[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识.
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