题目内容
(附加题)如图,以O为圆心的两个同心圆中,大圆的直径AD交小圆于M,N两点,大圆的弦AB切小圆于点C,过点C作直线CE⊥AD,垂足为E,交大圆于F,H两点.(1)试判断线段AC与BC的大小关系,并说明理由;
(2)求证:FC•CH=AE•AO;
(3)若FC,CH是方程x2-2


【答案】分析:(1)相等,主要根据是垂径定理,从已知条件中可知AB为大圆的弦,且垂直于半径,所以相等.
(2)利用切线定理,和相交弦定理就可证明.
(3)先解方程求出根,再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段,分别计算相加.
解答:(1)解:相等.(1分)
连接OC,则CO⊥AB,故AC=BC.(3分)
(2)证明:由△ACH∽△FCB,得AC•CB=FC•CH=AC2,(4分)
又由△ACE∽△AOC,得AC2=AE•AO.(5分)
∴FC•CH=AE•AO.(6分)
(3)解:解方程得:CH=
+1,CF=
-1,(7分)
CE=
-(
-1)=1,AC2=4,AC=2,
在Rt△ACE中,sinA=
,
∴∠A=30°,∴∠AOC=60°,∠CON=120度.
在△ACO中,CO=AC•tanA=2×
,
AO=
,AM=AO-OM=
,
弧CN长=
,
AN=AM+2OC=
,(9分)
阴影部分周长=AC+AN+
.(10分)
点评:[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识.
(2)利用切线定理,和相交弦定理就可证明.
(3)先解方程求出根,再观察图发现阴影部分图形的周长就是一段弧长加一线段,分别计算相加.
解答:(1)解:相等.(1分)
连接OC,则CO⊥AB,故AC=BC.(3分)
(2)证明:由△ACH∽△FCB,得AC•CB=FC•CH=AC2,(4分)
又由△ACE∽△AOC,得AC2=AE•AO.(5分)
∴FC•CH=AE•AO.(6分)
(3)解:解方程得:CH=


CE=


在Rt△ACE中,sinA=

∴∠A=30°,∴∠AOC=60°,∠CON=120度.
在△ACO中,CO=AC•tanA=2×

AO=


弧CN长=

AN=AM+2OC=

阴影部分周长=AC+AN+

点评:[点评]本题是比较传统的几何型综合压轴题,涉及圆、相似、三角等几何重点知识.

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