Question

刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见下图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．
（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离

 

． （填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
请你分别完成上述二个问题的解答过程．

Answer 1

分析：（1）根据题意，观察图形，F、C两点间的距离逐渐变小；
（2）①因为∠B=90°，∠A=30°，BC=6，所以AC=12，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4，所以DF=4，连接FC，设FC∥AB，则可求证∠FCD=∠A=30°，故AD的长可求；
②设AD=x，则FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长；
③假设∠FCD=15°，因为∠EFC=30°，作∠EFC的平分线，交AC于点P，则∠EFP=∠CFP=∠DFE+∠EFP=60°，所以PD=4

3

，PC=PF=2FD=8，故不存在．

解答：解：（1）变小；
故答案为：变小；

（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6
∴AC=12
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4
∴DF=4
连接FC，设FC∥AB

∴∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4

3

，
∴AD=AC-DC=12-4

3

，
∴AD=（12-4

3

）cm时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，
（I）当FC为斜边时，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=

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6

；
（II）当AD为斜边时，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=

49

6

；
∵DE=4，
∴AD=AC-DE=12-4=8，
∴x=

49

6

＞8（不合题意舍去）
（III）当BC为斜边时，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，
整理得出：x²-12x+62=0，
∴方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=

31

6

cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
另解：BC不能为斜边，
∵FC＞CD，
∴FC+AD＞12
∴FC、AD中至少有一条线段的长度大于6，
∴BC不能为斜边，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=

31

6

cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形．

点评：本题把相似三角形的判定和勾股定理结合求解．综合性强，难度大．考查学生综合运用数学知识的能力．注意解题的方法不惟一，可让学生采用不同方法求解，培养学生的思维能力．