题目内容
（2013•东城区二模）定义：P，Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中的四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是
当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是
．
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是
2
2
；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离是
| 5 |
| 5 |
（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，求线段BC与线段OA的距离d．
（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，若线段BC的中点为M，直接写出点M随线段BC运动所形成的图形的周长
16+4π
16+4π
．分析：（1）m=2时，线段OA与线段BC间的距离即为两线段的距离；m=5时，过点B作BD⊥x轴于D，求出AD的长，然后利用勾股定理列式求出AB，即为线段OA与线段BC的距离；
（2）先确定出2≤m≤6，再分2≤m≤4时，d等于两平行线间的距离，（或过点B作BE⊥OA于E，求出AE的长，再利用勾股定理列式求出BE的长，即为两线段的距离）；4≤m≤6，d等于点B与点A的距离，即为⊙A的半径；
（3）根据线段与线段的距离的定义画出图形，可得点M形成的图形是两条线段和两个半圆，再分别求解即可．
（2）先确定出2≤m≤6，再分2≤m≤4时，d等于两平行线间的距离，（或过点B作BE⊥OA于E，求出AE的长，再利用勾股定理列式求出BE的长，即为两线段的距离）；4≤m≤6，d等于点B与点A的距离，即为⊙A的半径；
（3）根据线段与线段的距离的定义画出图形，可得点M形成的图形是两条线段和两个半圆，再分别求解即可．
解答：解：（1）当m=2，n=2时，线段BC与线段OA的距离等于平行线间的距离，即为2；
当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如图，
过点B作BD⊥x轴于点D，则AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=
=
=
；
（2）如图，
当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
①当2≤m＜4时，d=|n|（-2≤n≤2），
或：过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，d=
=
=
；
②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
（3）根据题意画出图形，点M形成的图形为图中红线表示的封闭图形，
由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
故答案为：（1）2，
；（2）当2≤m≤4时，d=|n|（-2≤n≤2）或
；当4≤m≤6时，d=2；（3）16+4π．
当m=5，n=2时，B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如图，
过点B作BD⊥x轴于点D，则AD=5-4=1，BD=2，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AB=
| AD2+BD2 |
| 12+22 |
| 5 |
（2）如图，
当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
①当2≤m＜4时，d=|n|（-2≤n≤2），
或：过点B作BE⊥x轴于点E，线段BC与线段OA的距离等于BE长，
OE=m，AE=OA-OE=4-m，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，d=
| AB2-AE2 |
| 22-(4-m)2 |
| -m2+8m-12 |
②当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
（3）根据题意画出图形，点M形成的图形为图中红线表示的封闭图形，
由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
故答案为：（1）2，
| 5 |
| -m2+8m-12 |
点评：本题考查了圆的综合题型，主要利用了勾股定理，读懂题目信息，理解线段与线段的距离的定义是解题的关键，（3）根据动线段BC与线段OA的距离始终为2画出点M形成的图形是解题的关键，也是本题的难点．
练习册系列答案
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