Question

课题学习
●探究：
（1）在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．
①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为

 

；
②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为

 

；
（2）在图2中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的
代数式表示），并给出求解过程．
●归纳：
无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y） 时，
x=

 

，y=

 

．（不必证明）
●运用：
在图2中，y=|x-1|的图象x轴交于P点．一次函数y=kx+1与y=|x-1|的图象交点为A，B．
①求出交点A，B的坐标（用k表示）；
②若D为AB中点，且PD垂直于AB时，请利用上面的结论求出k的值．

Answer 1

分析：（1）从在数轴上的两个特殊需要点的找到中点与端点坐标的关系，再到象限一般情况中点与端点的坐标关系．通过观察，从特殊到一般；再利用数形结合的思想，利用中点坐标公式求解．
（2）求出线段中点坐标分别是两个端点纵、横坐标的平均值．绝对值函数的图象画法，Y的值都是非负数．

解答：解：探究（1）①（1，0）；②（-2，

1

2

）；

（2）过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为A′，D′，B′，则AA′∥BB′∥DD′．
过A、B分别作直线DD'的垂线，垂足分别为H、G．

在△ADH和△BDG中 ∠ADH=∠BDG(对顶角) ∠G=∠AHD(垂直定义) AD=BD(已知) △ADH≌△BDG(AAS)

∴AH=BG，又AH=A′D′；BG=D′B′
∴A′D′=D′B′．x-a=c-x，x=

a+c

2

即D点的横坐标是

a+c

2

．
同理又HD=DG，d-y=y-b，y=

b+d

2

可得D点的纵坐标是

b+d

2

∴AB中点D的坐标为（

a+c

2

，

b+d

2

）．
归纳：

a+c

2

，

b+d

2

●运用

y=kx+1 y=|x-1

，

y=kx+1 y=x-1

或

y=kx+1 y=-(x-1)

，

x= 2 1-k y= 1+k 1-k

或

x=0 y=1

，
∵AB⊥PD，p(1，0)，A(0，1)，B(

2

1-k

，

1+k

1-k

)．
∴xp=xD=

2 1-k +0

2

=1，k=0．

点评：本题考查了一次函数的综合运用：从在数轴上的两个特殊需要点的找到中点与端点坐标的关系，再到象限一般情况中点与端点的坐标关系．通过观察，从特殊到一般；再利用数形结合的思想，利用中点坐标公式求解．