题目内容
【题目】如图，已知直线
与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△COD．
（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ；
（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；
（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）（0，3）；4；（2）
；（3）抛物线上存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形．
【解析】
（1）首先求出图象与x轴交于点A，与y轴交于点B的坐标，进而得出C点坐标以及线段AD的长；
（2）首先得出点M是CD的中点，即可得出M点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；
（3）分别根据当点F在点C的左边时以及当点F在点C的右边时，分析四边形CFPE为菱形得出即可．
（1）∵
与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴y=0时，x=﹣3，x=0时，y=1．
∴A点坐标为：（﹣3，0），B点坐标为：（0，1）．
∴OC=3，DO=1．
∴点C的坐标是（0，3），线段AD的长等于4．
（2）∵CM=OM，
∴∠OCM=∠COM．
∵∠OCM+∠ODM=∠COM+∠MOD=90°，
∴∠ODM=∠MOD．
∴OM=MD=CM．
∴点M是CD的中点，
∴点M的坐标为（
，
）．
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C，M，
∴
，解得：
．
∴抛物线y=x2+bx+c的解析式为：．
（3）情形1：如图1，当点F在点C的左边时，四边形CFEP为菱形，
∴∠FCE=PCE．
由题意可知，OA=OC，
∴∠ACO=∠PCE=45°．
∴∠FCP=90°．
∴菱形CFEP为正方形．
过点P作PH⊥CE，垂足为H，
则Rt△CHP为等腰直角三角形．
∴CP=
CH=PH．
设点P为（x，
），则OH=，PH=x，
∵PH=CH=OC﹣OH，
∴
，
解得：x1=
， x2=0（舍去）．
∴CP=CH=
．
∴菱形CFEP的周长l为：
．
情形2：如图2，当点F在点C的右边时，四边形CFPE为菱形，
∴CF=PF，CE∥FP．
∵直线AC过点A（﹣3，0），点C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y=x+3．
过点C作CM⊥PF，垂足为M，
则Rt△CMF为等腰直角三角形，CM=FM．
延长PF交x轴于点N，则PN⊥x轴，
∴PF=FN﹣PN．
设点P为（x，），则点F为（x，x+3），
∴
．
∴
，
解得：
，x2=0（舍去）．
∴
．
∴菱形CFEP的周长l为：
）．
综上所述，这样的菱形存在，它的周长为
或
．
