题目内容
已知抛物线y=mx2-(m+5)x+5.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,过(1)中定点的直线L;y=x+k交y轴于点D,且AB=4,圆心在直线L上的⊙M为A、B两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB与弧
围成的弓形面积.
(1)求证:它的图象与x轴必有交点,且过x轴上一定点;
(2)这条抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,过(1)中定点的直线L;y=x+k交y轴于点D,且AB=4,圆心在直线L上的⊙M为A、B两点,求抛物线和直线的关系式,弦AB与弧
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AB |
(1)证明:∵y=mx2-(m+5)x+5,
∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m-5)2;
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,
故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,
∴令y=0,
代入y=mx2-(m+5)x+5,
得mx2-(m+5)x+5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=
或x=1,
故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)如答图所示,
∵L:y=x+k,把(1,0)代入上式,
得0=1+k,
∴k=-1,
∴y=x-1;
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,AB=4,
∵x1x2>0,
∴x1=1,x2=5,
∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5,
∴m=1,
∴y=x2-6x+5;
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+
=1+
;
把x=3代入y=x-1,得y=2,
∴圆心M(3,2),
∴半径r=MA=MB=
=2
,
∴MA2=MB2=8,
又AB2=42=16,
∴MA2+MB2=AB2
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB-S△ABM=
-
×2
×2
=2π-4.
∴△=[-(m+5)]2-4m×5=m2+10m+25-20m=(m-5)2;
不论m取任何实数,(m-5)2≥0,即△≥0,
故抛物线与x轴必有交点.
又∵x轴上点的纵坐标均为零,
∴令y=0,
代入y=mx2-(m+5)x+5,
得mx2-(m+5)x+5=0,(mx-5)(x-1)=0,
∴x=
5 |
m |
故抛物线必过x轴上定点(1,0).
(2)如答图所示,
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得0=1+k,
∴k=-1,
∴y=x-1;
又∵抛物线与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0),且0<x1<x2,AB=4,
∵x1x2>0,
∴x1=1,x2=5,
∴A(1,0),B(5,0),
把B(5,0)代入y=mx2-(m+5)x+5,得0=25m-(m+5)×5+5,
∴m=1,
∴y=x2-6x+5;
∵M点既在直线L:y=x-1上,又在线段AB的垂直平分线上,
∴M点的横坐标x1+
AB |
2 |
4 |
2 |
把x=3代入y=x-1,得y=2,
∴圆心M(3,2),
∴半径r=MA=MB=
(3-1)2-22 |
2 |
∴MA2=MB2=8,
又AB2=42=16,
∴MA2+MB2=AB2
∴△ABM为直角三角形,且∠AMB=90°,
∴S弓形ACB=S扇形AMB-S△ABM=
90π×(2
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