在平面直角坐标系内.二次函数y=ax2+bx+c图象与x轴交于A两点.与y轴交于点C(0.4).直线y=x+1与二次函数的图象交于A.D两点.(1)求出二次函数的解析式以及D点的坐标,(2)点P是直线AD上方抛物线上的一点.连结PB.交AD于点E.使PEBE=45.求出符合要求的点P的坐标,的条件下.连结PD.①直接写出PD与AD的关系PD⊥ADPD⊥AD,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在平面直角坐标系内，二次函数y=ax²+bx+c图象与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，4），直线y=x+1与二次函数的图象交于A、D两点，
（1）求出二次函数的解析式以及D点的坐标；
（2）点P是直线AD上方抛物线上的一点，连结PB，交AD于点E，使

，求出符合要求的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，连结PD，
①直接写出PD与AD的关系

PD⊥AD

；
②点M是平面内一点，使△PDM∽△ADB，求符合要求的所有点M的坐标．

分析：（1）把点A、B、C的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式解答，再与直线y=x+1联立求解即可得到点D的坐标；
（2）设PF∥AD交x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求出AF的长度，再求出直线PF的解析式，然后与二次函数解析式联立求解即可得到点P的坐标；
（3）①设直线PD的解析式为y=kx+b，利用待定系数法求出直线的解析式，从而得到直线PD与x轴的夹角为45°，判定PD与AD垂直；
②利用勾股定理列式求出AD，根据点P、D的坐标求出PD的长度，然后根据直线PD与x轴的夹角为45°，利用相似三角形对应边成比例列式求出PM的长度，分①点M在PD下方时，PM∥y轴，求出点M的纵坐标，从而得解；②点M在PD上方时，PM∥x轴，求出点M的横坐标，从而得解．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+bx+c图象经过A（-1，0），B（4，0），C（0，4），
∴

a-b+c=0

16a+4b+c=0

c=4

，
解得

a=-1

b=3

c=4

，
所以，二次函数的解析式为y=-x²+3x+4，
联立

y=-x2+3x+4

y=x+1

，
解得

x1=-1

y1=0

（为点A坐标），

x2=3

y2=4

，
所以，点D的坐标为（3，4）；

（2）设PF∥AD交x轴于F，
则

，
∵A（-1，0），B（4，0），
∴AB=4-（-1）=5，
∴

，
解得AF=4，
∴OF=4+1=5，
点F的坐标为（-5，0），
易求直线PF的解析式为y=x+5，
联立

y=-x2+3x+4

y=x+5

，
解得

x=1

y=6

，
所以，点P的坐标为（1，6）；

（3）①设直线PD的解析式为y=kx+b，

则

k+b=6

3k+b=4

，
解得

k=-1

b=7

，
所以，直线PD的解析式为y=-x+7，
∴直线PD与x轴的负方向夹角为45°，
∵直线y=x+1与x轴的正方向夹角为45°，
∴PD⊥AD；
②根据勾股定理，AD=

(3+1)2+42

，
∵P（1，6），D（3，4），
∴PD=

(1-3)2+(6-4)2

，
∵∠DAB=45°，PD与x轴负方向夹角为45°，
∴PM∥y轴或PM∥x轴，
∵△PDM∽△ADB，
∴

，
即

，
解得PM=

，
①点M在PD下方时，PM∥y轴，点M的纵坐标为6-

，
此时，点M的坐标为M₁（1，

），
②点M在PD上方时，PM∥x轴，点M的横坐标为1+

，
此时，点M的坐标为M₂（

，6），
综上所述，点M的坐标为（1，

）或（

，6）时，△PDM∽△ADB．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，平行线分线段成比例定理，相似三角形对应边成比例的性质，两点间的距离公式，（2）考虑到利用PF∥AD，根据平行线分线段成比例定理求出直线PF的解析式是解题的关键，（3）判断出PM∥y轴或PM∥x轴是解题的关键．