Question

．（13分）已知抛物线y＝ax 2＋bx＋c经过O（0，0），A（4，0），B（3，）三点，连接AB，过点B作BC∥轴交抛物线于点C．动点E、F分别从O、A两点同时出发，其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动，点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动．设动点运动的时间为t（秒）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）记△EFA的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求S的最大值，指出此时△EFA的形状；
（3）是否存在这样的t值，使△EFA是直角三角形？若存在，求出此时E、F两点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

见解析

解析
（1）根据题意得
       解得：
                 ------------4分
（2）过点B作BM⊥x轴于M，
则BM=,OM=3,∵OM=4,∴AM=1
AB=
∵∴∠BAM=60°
当0<t《2时，AF=t,过点F作FH⊥x轴，
∵FN=Afsin60°=,

当2<t《4时，如图，

当0<t《2时，当时，
当2<t《4时,s<
∴当x=2时，
,此时AE=AF=2又∵∠EAF=60°. ∴△AEF为等边三角形. -----------10分
(3)当0≤t≤2时，
若∠EFA=90°,此时∠FEA=30°, ∴EA=2AF，4-t="2t," ∴.此时E
当∠FEA=90°时，此时∠EFA=30°, ∴2EA=AF，∴t=2(4-t)
∴>2, ∴这种情况不存在。
当2<t《4时，有t-2+t=3
∴t=2.5
E(2.5,0),   F(2.5,).   ------------13分