Question

【题目】（1）发现

如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=，AB=.

填空：当点A位于__________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为_____________.

（用含，的式子表示）

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1.如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值.

（3）拓展

如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2 , 0），点B的坐标为（5 , 0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）CB的延长线上，a+b；（2）①DC=BE,理由见解析；②BE的最大值是4.（3）AM的最大值是3+2，点P的坐标为（2-，）.

【解析】

试题分析：(1)当点A在线段CB的延长线上时，可得线段AC的长取得最大值为a+b；（2）①DC=BE，根据等边三角形的性质可得AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，再证得∠CAD=∠EAB,即可判定△CAD≌△EAB，所以DC=BE；②当点A在线段CB的延长线上时，可得线段CD的长取得最大值为3+1=4，即可得BE的最大值是4;（3）如图3，构造△BNP≌△MAP,则NB=AM,由（1）知，当点N在BA的延长线上时，NB有最大值（如备用图）。易得△APN是等腰直角三角形，AP=2，∴AN=，∴AM=NB=AB+AN=3+;过点P作PE⊥x轴于点E，PE=AE=,又A（2，0）∴P（2-，）

试题解析：(1)CB的延长线上，a+b；

（2）①DC=BE,理由如下：

∵△ABD和△ACE为等边三角形，

∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB,

∴△CAD≌△EAB.

∴DC=BE.

②BE的最大值是4.

（3）AM的最大值是3+2，点P的坐标为（2-，）.