题目内容

【题目】如图,在△ABC中,点O在边AC上,O与△ABC的边BCAB分别相切于CD两点,与边AC交于E点,弦CFAB平行,与DO的延长线交于M点.

1)求证:点MCF的中点;

2)若E的中点,BCa,写出求AE长的思路.

【答案】1)见解析;(2)求AE长的思路见解析.

【解析】

1)根据切线的性质得到ODABD.根据平行线的性质得到∠OMF=ODB=90°.由垂径定理即可得到结论;

2)连接DCDF.由MCF的中点,E的中点,可以证明△DCF是等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠1=30°;根据切线的性质得到BC=BD=a.推出△BCD为等边三角形;解直角三角形即可得到结论.

1)证明:ABO相切于点D

ODABD

∴∠ODB90°

CFAB

∴∠OMFODB90°

OMCF

MCF的中点;

2)思路:

连接DCDF

MCF的中点,E的中点,

可以证明DCF是等边三角形,且∠130°

BABCO的切线,可证BCBDa

∠260°,从而BCD为等边三角形;

Rt△ABC中,B60°BCBDa,可以求得ADaCOOA

AEAOOE

解:连接DCDF

由(1)证得MCF的中点,DMCF

DCDF

E的中点,

CE垂直平分DF

CDCF

∴△DCF是等边三角形,

∴∠130°

BCAB分别是O的切线,

BCBDaACB90°

∴∠260°

∴△BCD是等边三角形,

∴∠B60°

∴∠A30°

ODAO

AEAOOE

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