题目内容
【题目】如图,在△ABC中,点O在边AC上,⊙O与△ABC的边BC,AB分别相切于C,D两点,与边AC交于E点,弦CF与AB平行,与DO的延长线交于M点.
(1)求证:点M是CF的中点;
(2)若E是的中点,BC=a,写出求AE长的思路.
【答案】(1)见解析;(2)求AE长的思路见解析.
【解析】
(1)根据切线的性质得到OD⊥AB于D.根据平行线的性质得到∠OMF=∠ODB=90°.由垂径定理即可得到结论;
(2)连接DC,DF.由M为CF的中点,E为的中点,可以证明△DCF是等边三角形,根据等边三角形的性质得到∠1=30°;根据切线的性质得到BC=BD=a.推出△BCD为等边三角形;解直角三角形即可得到结论.
(1)证明:∵AB与⊙O相切于点D,
∴OD⊥AB于D.
∴∠ODB=90°.
∵CF∥AB,
∴∠OMF=∠ODB=90°.
∴OM⊥CF.
∴点M是CF的中点;
(2)思路:
连接DC,DF.
①由M为CF的中点,E为的中点,
可以证明△DCF是等边三角形,且∠1=30°;
②由BA,BC是⊙O的切线,可证BC=BD=a.
由∠2=60°,从而△BCD为等边三角形;
③在Rt△ABC中,∠B=60°,BC=BD=a,可以求得AD=a,CO=,OA=
;
④AE=AO﹣OE=﹣
=
.
解:连接DC,DF,
由(1)证得M为CF的中点,DM⊥CF,
∴DC=DF,
∵E是的中点,
∴CE垂直平分DF,
∴CD=CF,
∴△DCF是等边三角形,
∴∠1=30°,
∵BC,AB分别是⊙O的切线,
∴BC=BD=a,∠ACB=90°,
∴∠2=60°,
∴△BCD是等边三角形,
∴∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴OD=,AO=
,
∴AE=AO﹣OE=.

【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD是角平分线,点O在AB上,以点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E.
(1)求证:AC是⊙O的切线;
(2)若OB=10,CD=8,求BE的长.
【题目】如图,半圆O的直径AB=5cm,点M在AB上且AM=1cm,点P是半圆O上的动点,过点B作BQ⊥PM交PM(或PM的延长线)于点Q.设PM=xcm,BQ=ycm.(当点P与点A或点B重合时,y的值为0)小石根据学习函数的经验,对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小石的探究过程,请补充完整:
(1)通过取点、画图、测量,得到了x与y的几组值,如下表:
x/cm | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 |
y/cm | 0 | 3.7 | ______ | 3.8 | 3.3 | 2.5 | ______ |
(2)建立平面直角坐标系,描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点,画出该函数的图象;
(3)结合画出的函数图象,解决问题:当BQ与直径AB所夹的锐角为60°时,PM的长度约为______cm.