题目内容

已知:如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC的顶点B的坐标为(2,2),A、C两点分别在x轴、y轴上.P是BC边上一点(不与B点重合),连AP并延长与x轴交于点E,当点P在边BC上移动时,△AOE的面积随之变化.
①设PB=a(0<a≤2).求出△AOE的面积S与a的函数关系式.
②根据①的函数关系式,确定点P在什么位置时,S△AOE=2,并求出此时直线AE的解析式.
③在所给的平面直角坐标系中画出①中函数的图象和函数S=-a+2的简图.
④设函数S=-a+2的图象交a轴于点G,交S轴于点D,点M是①的函数图象上的一动点,过M点向S轴作垂线交函数S=-a+2的图象于点H,过M点向a轴作垂线交函数S=-a+2的图象于点Q,请问DQ•HG的值是否会变化?若不变,精英家教网请求出此值;若变化,请说明理由.
分析:①由相似可以求出OE,△AOE是直角三角形,可以直接求出△AOE的面积.
②把S=2代入得到a=2,PB=2,此时E点与C点重合,求出E点坐标,运用待定系数法求出直线AE的解析式.
③利用描点法画出一次函数和反比例函数的图象.
④通过作辅助线得到△HRG和△DNQ均为等腰直角三角形,利用勾股定理用含a的式子表示出HG、DQ的值,从而求出定值.
解答:解:①∵B(2,2),且四边形ABCO是正方形.
∴AB=BC=OC=AO=2
∵PB=a
∴PC=2-a
∵△PCE∽△AOE
∴PC:AO=EC:OE
即(2-a):2=(0E-2):OE
解得:OE=
4
a

S=
4
a
(0<a≤2);

②当S=2时,2=
4
a

求得:a=2,
∴OE=2,
∴E点C点P点重合.
∴P(2,0)
∴E(2,0),设直线AE的解析式为:y=kx+b则有:精英家教网
2=b
0=2k+b
解得:
k=-1
b=2

直线AE的解析式为:y=-x+2;

③作图为:S=
4
a
(0<a≤2)与s=-a+2的图象为:

④DQ•HG的值是不会变化的
设M点坐标为(t,
4
t
)
,过H作HR垂直于a轴垂足为R,
过D作DN垂直于MQ垂足为N,易得HR=
4
t
,DN=t,
易证△HRG和△DNQ均为等腰直角三角形,由勾股定理得HG=
4
2
t
,DQ=
2
t

所以DQ•HG=
4
2
t
2
t
=8.
点评:本题是一道一次函数和反比例函数的综合试题,考查了待定系数法求函数的解析式,描点法画函数图象、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的运用等多个知识点.
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