Question

观察下列方程和等式，寻找规律，完成问题：
①方程x²-7x+6=0，x₁=1，x₂=6，而x²-7x+6=（x-1）（x-6）；
②方程x²-4x-5=0，x₁=5，x₂=-1，而x²-4x-5=（x-5）（x+1）；
③方程4x²-12x+9=0，x1=

3

2

，x2=

3

2

，而4x2-12x+9=4(x-

3

2

)(x-

3

2

)；
④方程3x²+7x+4=0，x1=-

4

3

，x₂=-1，而3x2+7x+4=3(x+

4

3

)(x+1)；…
（1）探究规律：当方程ax²+bx+c=0（a≠0）时，

 

；
（2）解决问题：根据上述材料将下列多项式分解：x²-x-2；2x²+3x-2
（3）拓广应用：已知，如图，现有1×1，a×a的正方形纸片和1×a的矩形纸片各若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次）在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两个纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为2a²+5a+2，并标出此矩形的长和宽．

Answer 1

分析：（1）求出一元二次方程的根即可进行因式分解；
（2）利用x²-x-2=0，根为x₁=2，x₂=-1，以及2x²+3x-2=0，得出x₁=-2，x₂=

1

2

，进而因式分解即可；
（3）根据2a²+5a+2=0，得出x₁=-

1

2

，x₂=-2，即可得出此矩形的长和宽．

解答：解：（1）∵方程ax²+bx+c=0，
方程的根为：x=

-b± b2-4ac

2a

，
∴ax²+bx+c=（x-

-b+ b2+4ac

2a

）（x-

-b- b2-4ac

2a

）；

（2）∵x²-x-2=0，
x₁=2，x₂=-1，
∴x²-x-2；
=（x-2）（x+1）；
∵2x²+3x-2=0，
x₁=-2，x₂=

1

2

，
∴2x²+3x-2，
=（x+2）（2x-1）；

（3）2a²+5a+2=0，
x₁=-

1

2

，x₂=-2，
∴2a²+5a+2，
=（2a+1）（a+2），
∴此矩形的长和宽分别为：2a+1，a+2．

点评：此题主要考查了因式分解的应用，根据已知得出求出方程的根是解题关键．