题目内容
【题目】已知:△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5.
(1)k为何值时,△ABC是以BC为斜边的直角三角形?
(2)k为何值时,△ABC是等腰三角形?并求△ABC的周长.
【答案】(1)2;(2)k=3或4,△ABC的周长为14或16.
【解析】
试题分析:(1)根据题意得出AB、AC的长,再由根与系数的关系得出k的值;
(2)根据等腰三角形的性质,分三种情况讨论:①AB=AC,②AB=BC,③BC=AC;后两种情况相同,则可有另种情况,再由根与系数的关系得出k的值.
试题解析: (1)∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形,BC=5,
∴AB2+AC2=25,
∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,
∴AB+AC=2k+3,ABAC=k2+3k+2,
∴AB2+AC2=(AB+AC)2-2ABAC,
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25,
解得k=2或-5(不合题意舍去);
(2)∵△ABC是等腰三角形;
∴当AB=AC时,△=b2-4ac=0,
∴(2k+3)2-4(k2+3k+2)=0
解得k不存在;
当AB=BC时,即AB=5,
∴5+AC=2k+3,5AC=k2+3k+2,
解得k=3或4,
∴AC=4或6
∴△ABC的周长为14或16.
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