Question

（2012•建宁县质检）如图：在直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于B、C两点，与y轴相交于D、E两点．
（1）若抛物线y=

1

4

x2+bx+c经过C、D两点，求此抛物线的解析式，并判断点B是否在这条抛物线上？
（2）过点E的直线y=kx+m交x轴于F（-

16

3

，0），求此直线的解析式，这条直线是⊙A的切线吗？请说明理由；
（3）探索：是否能在（1）中的抛物线上找到一点Q，使直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于

1

4

？若能，请直接写出Q点坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AE，利用垂径定理可求出点D的坐标为（0，-4），根据圆的半径为5，可得出点C的坐标为（8，0），利用待定系数法求解即可；
（2）根据直线经过点E（0，4），可设直线解析式为y=kx+4，将点F的坐标代入可得出直线解析式，分别求出EF2，AF2，AE2，利用勾股定理的逆定理判断出∠AEF为直角，继而根据切线的判定可得出结论；
（3）由（1）得点B在抛物线上，设点Q的坐标为（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），分别讨论点Q的位置，①点Q在x轴上方，②点Q在x轴下方，利用正切值建立方程，解出即可得出答案．

解答：解：连接AE，

由题意得，OD=OE=4，
故可得：C、D两点坐标为：C（8，0），D（0，-4），
把C、D两点坐标代入y=

1

4

x2+bx+c中，
得：

16+8b+c=0 c=-4

，
 解得：b=-

3

2

，
故所求二次函数为：y=

1

4

x2-

3

2

x-4，
∵B点坐标为（-2，0），
∴当x=-2时，y=

1

4

×(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴点B在这条抛物线上．

（2）因为直线经过点E（0，4），可设解析式为：y=kx+4，
把点F（-

16

3

，0）代入上式得：k=

3

4

，
故所求一次函数为：y=

3

4

x+4，
在Rt△OEF中，EF²=OE²+OF²=16+

256

9

=

400

9

，
在△AEF中，AF=3+

16

3

=

25

3

，
即AF2=

625

9

，
∴EF²+AE²=

400

9

+25=

625

9

=AF²，
∴∠AEF=90°，
∴EF是⊙O的切线．
（3）能找到这样的点Q，
设存在点Q（x，

1

4

x²-

3

2

x-4），
∵直线BQ与x轴正方向所夹锐角的正切值等于

1

4

，
①若点Q在x轴上方时，此时

1 4 x2- 3 2 x-4

x-(-2)

=

1

4

，
解得：x₁=9，x₂=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（9，

11

4

）；
②若点Q在x轴下方时，

-( 1 4 x2- 3 2 x-4)

x-(-2)

=

1

4

，
解得：x₁=7，x₂=-2（舍去），
故此时点Q的坐标为（7，-

9

4

）．
故可得存在点Q的坐标，其坐标分别为：（9，

11

4

） 和 （7，-

9

4

）．

点评：此题属于圆的综合题，涉及了切线的判定、待定系数法求函数解析式及三角函数的知识，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是掌握各个知识点之间的融会贯通．