Question

【题目】在平面直角坐标系中，A（5，0），B（0，5）.

（1）如图 1，P 是 AB 上一点且，求 P 点坐标；

（2）如图 2，D 为 OA 上一点，AC∥OB 且∠CBO＝∠DCB，求∠CBD 的度数；

（3）如图 3，E 为 OA 上一点，OF⊥BE 于 F，若∠BEO＝45°＋∠EOF，求的值

Answer 1

【答案】（1）（3，2） （2）45° （3）2

【解析】

（1）作PG⊥x轴于G，PN⊥y轴于N，根据相似三角形的性质列出比例式，分别求出PG，PN，得到P点坐标；
（2）作BG⊥AC交AC的延长线于G，作BH⊥CD于H，分别证明△BCH≌△BCG和Rt△BOD≌Rt△BHD，根据全等三角形的性质得到∠CBH=∠CBG，∠BOD=∠HOD，结合图形计算；
（3）根据题意和三角形内角和定理分别求出∠BEO=67.5°，∠EOF=22.5°，作∠BOP=∠OBE，设OF=a，根据三角形外角的性质，相似三角形的性质分别求出BF，EF，代入计算即可．

（1）作PG⊥x轴于G，PN⊥y轴于N，

∵

∴

∵A（5，0），B（0，5），
∴OA=5，OB=5，
∵PG⊥x轴，
∴PG∥OB，
∴△AGP∽△AOB，
∴ ，即 ，
解得，PG=2，
同理，PN=3，
∴P点坐标为（3，2）；
（2）作BG⊥AC交AC的延长线于G，作BH⊥CD于H，

∴四边形BOAG为矩形，
∴BO=BG，
∵OA=OB，
∴矩形BOAG为正方形，
∵AC∥OB
∴∠CBO=∠BCG，
∵∠CBO=∠DCB，
∴∠BCG=∠DCB，
在△BCH和△BCG中，

，
∴△BCH≌△BCG（AAS），
∴∠CBH=∠CBG，BG=BH，
∴BO=BH，
在Rt△BOD和Rt△BHD中，

∴Rt△BOD≌Rt△BHD（HL），
∴∠BOD=∠HOD，
∴∠CBD=∠DBH+∠CBH= ∠OBG=45°；
（3）

∵∠BEO=45°+∠EOF，∠BEO+∠EOF=90°，
∴∠BEO=67.5°，∠EOF=22.5°，
则∠OBE=22.5°，
作∠BOP=∠OBE=22.5°，
则PB=PO，∠OPF=45°，
设OF=a，则PF=OF=a，由勾股定理得，OP=a，
∴PB=a，
∴BF=a+a，
∵∠BOP=∠OBE，∠OFB=∠EFO=90°，
∴△OFB∽△EFO，
∴EF=a-a，
∴