Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB，BC，AC的中点，连接DE，DF，动点P，Q分别从点A、B同时出发，运动速度均为1cm/s，点P沿AFD的方向运动到点D停止；点Q沿BC的方向运动，当点P停止运动时，点Q也停止运动．在运动过程中，过点Q作BC的垂线交AB于点M，以点P，M，Q为顶点作平行四边形PMQN．设平行四边形边形PMQN与矩形FDEC重叠部分的面积为y（cm²）（这里规定线段是面积为0有几何图形），点P运动的时间为x（s）

（1）当点P运动到点F时，CQ=          cm；
（2）在点P从点F运动到点D的过程中，某一时刻，点P落在MQ上，求此时BQ的长度；
（3）当点P在线段FD上运动时，求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

（1）5  （2）（cm）  （3）当3≤x＜4时，y=-x²+x
当4≤x＜时，y=-6x+33
当≤x≤7时，y=6x-33

解：（1）当点P运动到点F时，
∵F为AC的中点，AC=6cm，
∴AF=FC=3cm，
∵P和Q的运动速度都是1cm/s，
∴BQ=AF=3cm，
∴CQ=8cm-3cm=5cm，
故答案为：5．
（2）设在点P从点F运动到点D的过程中，点P落在MQ上，如图1，

则t+t-3=8，
t=，
BQ的长度为×1=（cm）；
（3）∵D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，
∴DE=AC=×6=3，
DF=BC=×8=4，
∵MQ⊥BC，
∴∠BQM=∠C=90°，
∵∠QBM=∠CBA，
∴△MBQ∽△ABC，
∴，
∴，
MQ=x，
分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，

y=PN•PD
=x（7-x）
即y=-x²+x；
②当4≤x＜时，重叠部分为矩形，如图3，

y=3[（8-X）-（X-3））]
即y=-6x+33；
③当≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，

y=3[（x-3）-（8-x）]
即y=6x-33．