Question

已知关于x的方程（n-1）x²+mx+1=0①有两个相等的实数根．
（1）用含n的代数式表示m²；
（2）求证：关于x的m²x²-2mx-m²-2n²+3=0方程②必有两个不相等的实数根；
（3）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式m²n+12n的值．

Answer 1

解：（1）∵关于x的方程（n-1）x²+mx+1=0①有两个相等的实数根，
∴△₁=b²-4ac=m²-4（n-1）×1=0，且n-1≠0，
解得，m²=4（n-1）（n≠1）；
∵m²≥0，n≠1．
∴m²=4（n-1），且n＞1．

（2）证明：由（1）知，m²=4（n-1）（n＞1），即m≠0．
∵关于x的m²x²-2mx-m²-2n²+3=0方程的二次项系数a=m²，一次项系数b=-2m，常数项c=-m²-2n²+3，
∴△₂=b²-4ac
=（-2m）²-4m²•（-m²-2n²+3）
=4m²•（m²+2n²-2）
=4m²•[4（n-1）+2n²-2]
=8m²（n+3）（n-1）．
∵m²＞0，n＞1．
∴△₂＞0，
∴方程②有两个不相等的实数根；

（3）解：由m²=4（n-1），得n-1=．代入第一个方程，得
x²+mx+1=0，解得x=-．
把代入第二个方程，得
m²×（）²-2m×（）-m²-2n²+3=0．
整理得2n²+4n=7．
∴m²n十12n=n（m²+12）
=n（4n-4+12）
=4n²+8n
=2（2n²+4n）
=14．
分析：（1）、（2）方程①有两个相等的实数根，则n-1≠0，△₁=0，可得m²=4n-4＞0，代入方程②的判别式△₂=8m²（n+3）（n-1）＞0．
（3）把（1）中根据①有两个相等的实数根，即方程的判别式△₁=0，得到的关于m，n的一个等式，变形为用含m的代数式表示n的形式，消去方程①中的m，然后解方程①，求出方程的根，根据若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，即可求解．
点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．