Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1 ， x2 ．
（1）求k的取值范围；
（2）若两不相等的实数根满足x1x2﹣x12﹣x22=﹣9，求实数k的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知可得，△=[﹣（2k+3）]2﹣41k2=12k+9＞0

∴k＞﹣

（2）解：由已知可得x1+x2=2k+3，x1x2=k2，

∵x1x2﹣x12﹣x22=﹣9，

∴x1x2﹣[（x1+x2）2﹣2x1x2]=﹣9，

即3x1x2﹣（x1+x2）2=﹣9，

∴3k2﹣（2k+3）2=﹣9，

整理得k2+12k=0，解得k1=0，k2=﹣12，

又k＞﹣ ，

∴k=0．

【解析】（1）根据判别式的意义得到△=[﹣（2k+3）]2﹣41k2=12k+9＞0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=2k+3，x1x2=k2 ， 再把x1x2﹣x12﹣x22=﹣9变形为即3x1x2﹣（x1+x2）2=﹣9，则3k2﹣（2k+3）2=﹣9，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定满足条件的k的值．
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．