Question

若代数式x³+y³+3x²y+axy²含有因式x-y，则a=

 

，在实数范围内将这个代数式分解因式，得x³+y³+3x²y+axy²=

 

．

Answer 1

分析：由于含有x-y的因式，因而当x=y时，代数式值为0．在代数式中，令x=y，即x³+x³+3x³+ax³=0，从而求出a=-5．再将a=-5代入x³+y³+3x²y+axy²，将整式采取割补法变形为x³-x²y+4x²y-5xy²+y³，再运用提公因式法，十字相乘法分解因式即可．

解答：解：∵代数式x³+y³+3x²y+axy²含有因式x-y，
∴当x=y时，x³+y³+3x²y+axy²=0，
∴令x=y，即x³+x³+3x³+ax³=0，
则有5+a=0，解得a=-5．
将a=-5代入x³+y³+3x²y+axy²，得
x³+y³+3x²y-5xy²
=x³-x²y+4x²y-5xy²+y³
=（x-y）x²+y（x-y）（4x-y）
=（x-y）（x²+4xy-y²）
=(x-y)(x+2y+

5

y)(x+2y-

5

y)．
故答案为：(x-y)(x+2y+

5

y)(x+2y-

5

y)．

点评：本题考查了实数范围内分解因式．解题的关键是由代数式含有因式x-y，可令x=y时，则代数式值为0，求出a的值．本题难度大，难点在于如何割补，可以按照含有因式x-y，将整式按x的降幂排列来进行．