Question

【题目】已知抛物线y=3ax2+2bx+c
（1）若a=b=1，c=﹣1求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若a= ，c=2+b且抛物线在﹣2≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值；
（3）若a+b+c=1，是否存在实数x，使得相应的y的值为1，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当a=b=1，c=﹣1时，抛物线为：y=3x2+2x﹣1，

∵方程3x2+2x﹣1=0的两个根为：x1=﹣1，x2= ．

∴该抛物线与x轴公共点的坐标是：（﹣1，0）和（ ，0）

（2）

解：a= ，c﹣b=2，则抛物线可化为：y=x2+2bx+b+2，

其对称轴为：x=﹣b，

当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，则有抛物线在x=﹣2时取最小值为﹣3，

此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2，

解得：b=3，符合题意，

当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2，

解得：b=﹣ ，不合题意，舍去．

当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，

此时﹣3=（﹣b）2+2×（﹣b）b+b+2，

化简得：b2﹣b﹣5=0，

解得：b1= （不合题意，舍去），b2= ．

综上：b=3或b=

（3）

解：由y=1得3ax2+2bx+c=1，

△=4b2﹣12a（c﹣1），

=4b2﹣12a（﹣a﹣b），

=4b2+12ab+12a2，

=4（b2+3ab+3a2），

=4[（b+ a）2+ a2]，

∵a≠0，△＞0，

所以方程3ax2+2bx+c=1有两个不相等实数根，

即存在两个不同实数x0，使得相应y=1

【解析】（1）直接将a=b=1，c=﹣1代入求出即可；（2）利用当x=﹣b＜﹣2时，即b＞2，此时﹣3=（﹣2）2+2×（﹣2）b+b+2；当x=﹣b＞2时，即b＜﹣2，则有抛物线在x=2时取最小值为﹣3，此时﹣3=22+2×2b+b+2；当﹣2≤﹣b≤2时，即﹣2≤b≤2，则有抛物线在x=﹣b时，取最小值为﹣3，分别求出符合题意的答案即可；（3）由y=1得3ax2+2bx+c=1，则△=4b2﹣12a（c﹣1），求出△的符号得出答案即可．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能正确解答此题．