Question

已知抛物线y=x²+kx+k-2．
（1）求证：不论k为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；
（2）若反比例函数y=

m

x

的图象与y=-

6

x

的图象关于y轴对称，又与抛物线交于点A（n，-3），求抛物线的解析式；
（3）若点P是（2）中抛物线上的一点，且点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用根的判别式进行证明；
（2）先根据关于y轴的对称性求出反比例函数解析式，然后把点A的坐标代入求出n的值，从而得到点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求解即可；
（3）根据到两坐标轴的距离相等，分①点P的横坐标与纵坐标相同，②点P的横坐标与纵坐标互为相反数两种情况与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．

解答：（1）证明：△=k²-4×1×（k-2）
=k²-4k+4+4
=（k-2）²+4，
∵（k-2）²≥0，
∴（k-2）²+4＞0，
即△＞0，
∴抛物线与x轴总有两个交点；

（2）解：∵反比例函数y=

m

x

的图象与y=-

6

x

的图象关于y轴对称，
∴m=6，
∴

6

n

=-3，
解得n=-2，
∴点A的坐标为（-2，-3），
∴（-2）²+（-2）k+k-2=-3，
解得k=5，
∴抛物线解析式为：y=x²+5x+3；

（3）解：∵抛物线上的点P到两坐标轴的距离相等，
∴①点P的横坐标与纵坐标相同时，y=x，
与抛物线解析式联立得，

y=x y=x2+5x+3

，
解得

x1=-1 y1=-1

，

x2=-3 y2=-3

，
②点P的横坐标与纵坐标互为相反数时，y=-x，
与抛物线解析式联立得，

y=-x y=x2+5x+3

，
解得

x3=-3+ 6 y3=3- 6

，

x4=-3- 6 y4=3+ 6

，
∴点P的坐标为（-1，-1）或（-3，-3）或（-3+

6

，3-

6

）或（-3-

6

，3+

6

）．

点评：本题综合考查了二次函数的问题，抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求抛物线解析式，坐标与图形的性质，两函数图象交点的求解方法，综合性较强，但难度不是很大，仔细分析不难求解．