Question

如图所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点．过点E的直线分别交AM、DN于B、C．
（1）如图，当点B、C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：________．
（2）试证明你的猜想．
（3）若点B、C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程．

Answer 1

解：（1）AD=AB+CD；

（2）证明：在AD上截取AF=AB，连接EF．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE．
在△ABE和△AFE中，
AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠ABC=∠AFE．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵∠AFE+∠DFE=180°，
∴∠DFE=∠C．
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
在△FDE和△CDE中，
∠DFE=∠C，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△FDE≌△CDE，
∴DF=CD，
∴AF+DF=AB+CD．
即AD=AB+CD；

（3）证明：
第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB．
在CD上截取DF=AD，连接EF．
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE=∠CDE
在△ADE和△FDE中，
DA=DF，∠ADE=∠CDE，DE=DE，
∴△ADE≌△FDE．
∴EA=EF，∠DAE=∠DFE．
∵AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠EAM，
∴∠DFE=∠EAM，
又∵∠BAE+∠EAM=180°，∠DFE+∠CFE=180°，
∴∠BAE=∠CFE．
∵AM∥DN，
∴∠ABC=∠BCD．
在△BAE和△CFE中，
∠BAE=∠CFE，∠ABC=∠BCD，EA=EF，
∴△BAE≌△CFE，
∴AB=FC．
∵DC=DF+FC，
∴DC=AD+AB；
第二种情况：当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD．
在AB上截取AF=AD，连接EF．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
在△ADE和△AEF中，
AF=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，
∴△AEF≌△AED，
∴EF=ED，
∴∠AFE=∠ADE．
∵DE平分∠ADN，
∴∠ADE=∠EDN，
∴∠AFE=∠EDN，
又∵∠AFE+∠BFE=180°，∠EDN+∠EDC=180°，
∴∠BFE=∠EDC．
∵AM∥DN，
∴∠ABC=∠BCD．
在△BEF和△CED中，
∠BFE=∠EDC，∠ABC=∠BCD，DE=EF，
∴△BFE≌△CDE，
∴CD=BF．
∵AB=AF+FB，
∴AB=AD+CD．
分析：（1）从图中可猜测AD=AB+CD．
（2）通过添加辅助线EF，构建全等三角形，根据全等三角形的性质判定△ABE≌△AFE，进而证明AD=AB+CD．
（3）当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB；当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD．
点评：本题主要考查全等三角形的性质与判定、角平分线的性质、平行线的性质，关键是添加好辅助线，构建好对应全等三角形，使问题得以解决．