题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的弦,点C为半径OA的中点,过点CCD⊥OA交弦AB于点E,连接BD,且DE=DB

1)判断BD与⊙O的位置关系,并说明理由;

2)若CD=15BE=10tanA=,求⊙O的直径.

【答案】(1BD⊙O的切线,理由见解析;(2

【解析】试题分析:(1)连接OB,由已知条件易证OBD=90°,即可证明BDO的切线;(2)过点DDGBEG,根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5,由两角相等的三角形相似,ACE∽△DGE,利用相似三角形对应角相等得到sinEDG=sinA=,在RtEDG中,利用勾股定理求出DG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.

试题解析:(1)证明:连接OB

∵OB=OADE=DB

∴∠A=∠OBA∠DEB=∠ABD

∵CD⊥OA

∴∠A+∠AEC=∠A+∠DEB=90°

∴∠OBA+∠ABD=90°

∴OB⊥BD

∴BD⊙O的切线;

2)如图,过点DDG⊥BEG

∵DE=DB

EG=BE=5

∵∠ACE=∠DGE=90°∠AEC=∠GED

∴∠GDE=∠A

∴△ACE∽△DGE

sinEDG=sinA==,即CE=13

Rt△ECG中,

∵DG==12

∵CD=15DE=13

∴DE=2

∵△ACE∽△DGE

=

AC=DG=

∴⊙O的直径2OA=4AD=

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