Question

如图是以点O为圆心的半圆，AB是半圆的一条弦，延长OB与过点A的直线交于点C，AB=BC=OB．
（1）试求∠C的度数．
（2）若 D是AC上一点，且AD=BD，试说明BD是⊙O的切线．
（3）在（2）的情况下，若圆O的半径为2，求BD的长．

Answer 1

分析：（1）利用直角三角形的判定得出△OAC是直角三角形，再利用等腰三角形的性质得出，进而得出∠OAB+∠BAC=x+2x=90°，即可得出答案；
（2）利用等腰三角形的性质得出∠BAD=∠ABD=30°，再利用切线的判定得出∠OBD=90°，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的判定得出△OAB为等边三角形，再利用锐角三角函数求出BD即可．

解答：（1）解：如图1，在△OAC中，
∵AB=BC=OB，
∴△OAC是直角三角形，即∠OAC=90°，
设∠C=x，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C=x，
则∠OBA=2x，
∵OA=OB，
∴∠OAB=2x，
∴∠OAB+∠BAC=x+2x=90°，
解得：x=30°，
故∠C等于30°．

（2）证明：如图1，
由（1）得：∠C=30°，
则∠OAB=∠OBA=60°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠ABD=30°，
∴∠OBD=90°，
∵OB是半径，
∴BD是⊙O的切线．

（3）解：如图2，过点D作DE⊥AB于点E，
∵由（1）可得，AO=OB，∠OAB=∠OBA=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∵圆O的半径为2，
∴AB=2，
∵AD=BD，∠ABD=30°，
∴AE=BE=1，
∴cos30°=

BE

BD

，
故BD=

BE

cos30°

=

1

3 2

=

2 3

3

．

点评：此题主要考查了直角三角形的判定以及等边三角形的判定和切线的判定等知识，熟练利用相关判定定理得出是解题关键．