题目内容
【题目】我们知道，在等腰直角三角形和含有30°角的直角三角形中，三边之间的比例关系分别如图所示：
试借助上述结论，构造图形，解决下面的问题：
如图(1)，已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，
(1) 求证： BD+AB=
CB；
(2) 当MN绕A旋转到如图(2)和图(3)两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图(3)给予证明；
(3) MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=
时，则CD= ，CB= ．
【答案】（1）证明见解析；(2) 
; 
；(3)2； 
.
【解析】试题分析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=
CB，根据BE=AE+AB即可证得；
（2）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，证明△ACE≌△DCB，则△ECB为等腰直角三角形，据此即可得到BE=
CB，根据BE=AB-AE即可证得；
（3）过点B作BH⊥CD于点H，证明△BDH是等腰直角三角形，求得DH的长，在直角△BCH中，利用直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半，即可求得．
试题解析：（1）过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACB+∠BCD=90°,∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE.
∵四边形ACDB内角和为360°,
∴∠BDC+∠CAB=180°.
∵∠EAC+∠CAB=180°，
∴∠EAC=∠BDC.
又∵AC=DC,
∴△ACE≌△DCB,
∴AE=DB,CE=CB,
∴△ECB为等腰直角三角形,
∴BE=
CB.
又∵BE=AE+AB,
∴BE=BD+AB,
∴BD+AB=
CB；
(2)如图(2) ABBD=
CB.理由如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°∠DCE,∠BCD=90°∠ECD，
∴∠BCD=∠ACE.
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°∠AFC,∠D=90°∠BFD，
∵∠AFC=∠BFD，
∴∠CAE=∠D，
在△ACE和△DCB中, 
，
∴△ACE≌△DCB(ASA)，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=
CB.
又∵BE=ABAE，
∴BE=ABBD，
∴ABBD=
CB.
如图(3):BDAB=
CB.理由如下：
过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACE=90°+∠ACB,∠BCD=90°+∠ACB，
∴∠BCD=∠ACE.
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°∠AFB,∠D=90°∠CFD，
∵∠AFB=∠CFD，
∴∠CAE=∠D，
又∵AC=DC，
∴△ACE≌△DCB，
∴AE=DB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴BE=
CB.
又∵BE=AEAB,
∴BE=BDAB，
∴BDAB=
CB.
(3)MN在绕点A旋转过程中，这个的意思并没有指明是哪种情况，
∴综合了第一个图和第二个图两种情况，
若是第1个图：
由(1)得：△ACE≌△DCB，CE=CB，
∴△ECB为等腰直角三角形，
∴∠AEC=45°=∠CBD，
过D作DH⊥CB.则△DHB为等腰直角三角形。
BD=
BH,
∴BH=DH=1.
直角△CDH中,∠DCH=30°，
∴CD=2DH=2,CH=
.
∴CB=
+1；
若是第二个图：过D作DH⊥CB交CB延长线于H.
解法类似上面,CD=2,得出CB=
1；
故答案为：2, 
+1或
1.
