Question

已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△AED，当AD与BC重合时停止移动，设运动时间为t秒，△AED与△BDC重叠的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B₁，E的对应点为E₁，设直线B₁E₁与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ADE中，解直角三角形即可；
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为一个三角形；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为一个五边形．
（3）根据旋转和等腰三角形的性质进行探究，结论是：存在α（30°和75°），使△BPQ为等腰三角形．如答图4、答图5所示．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD•cos30°=3，DE=AD•sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3+3=9+3．

（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△DNK．

∵DD=2t，∴ND=DD•sin30°=t，NK=ND÷tan30°=t，
∴S=S_△D0NK=ND•NK=t•t=t²；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形DEKN．

∵AA=2t，∴AB=AB-AA=12-2t，
∴AN=AB=6-t，NK=AN•tan30°=（6-t）．
∴S=S_{四边形D0E0KN}=S_△A0D0E0-S_△A0NK=×3×3-×（6-t）×（6-t）=t²+t-；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形DIJKN．

∵AA=2t，∴AB=AB-AA=12-2t=DC，
∴AN=AB=6-t，DN=6-（6-t）=t，BN=AB•cos30°=（6-t）；
易知CI=BJ=AB=DC=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，
S=S_梯形BND0I-S_△BKJ=[t+（2t-6）]•（6-t）-•（12-2t）•（12-2t）=t²+t-．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=．

（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B₁QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B₁QC也为等腰三角形．
（I）当QB=QP时（如答图4），

则QB₁=QC，∴∠B₁CQ=∠B₁=30°，
即∠BCB₁=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B₁Q=B₁C，
若点Q在线段B₁E₁的延长线上时（如答图5），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=75°，
即∠BCB₁=75°，
∴α=75°；
若点Q在线段E₁B₁的延长线上时（如答图6），

∵∠B₁=30°，∴∠B₁CQ=∠B₁QC=15°，
即∠BCB₁=180°-∠B₁CQ=180°-15°=165°，
∴α=165°．
综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．
点评：本题考查了运动型与几何变换综合题，难度较大．难点在于：其一，第（2）问的运动型问题中，分析三角形的运动过程，明确不同时段的重叠图形形状，是解题难点；其二，第（3）问的存在型问题中，探究出符合题意的旋转角，并且做到不重不漏，是解题难点；其三，本题第（2）问中，计算量很大，容易失分．