题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,点A(1,0),已知抛物线y=x2+mx﹣2m(m是常数),顶点为P.
(1)当抛物线经过点A时.
①求顶点P的坐标;
②设直线l:y=3x+1与抛物线交于B、C两点,抛物线上的点M的横坐标为n(﹣1≤n≤3),过点M作x轴的垂线,与直线l交于点Q,若MQ=d,当d随n的增大而减少时,求n的取值范围.
(2)无论m取何值,该抛物线都经过定点H,当∠AHP=45°时,求抛物线的解析式.
【答案】(1)①点P(﹣,﹣);②1≤n≤3;(2)抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+8或或y=x2+4x﹣8或.
【解析】
(1)①将点A的坐标代入抛物线表达式可得m值,再根据抛物线表达式确定顶点P的坐标即可;
②画出函数图象,联立抛物线与直线表达式可得点B、C坐标,易知点M的横坐标为n(﹣1≤n≤3)时,图象对应的是BC之间的部分,设点M(n,n2+n﹣2),点Q(n,3n+1),可得d与n的关系式,可知其对称轴为n=1,根据d的增减性可确定n的取值范围;
(2)点P的坐标为:(﹣m,﹣m2﹣2m),由点A、H的坐标知,AH=,tanα=4;点P存在在AH左右两侧的情况,①当点P在AH右侧时,过点M作MR⊥AH于点R,设RM=4x=RH,则AR=x,根据AH=AR+RH可得x值,易知点M坐标,由点H、M坐标可得直线HM表达式,将点P坐标代入即可求出m值;②当点P在AH左侧时,同理求出点M坐标及直线HM的表达式,将点P坐标代入即可求出m值.
解:(1)①将点A(1,0)代入y=x2+mx﹣2m得,
解得
所以抛物线的表达式为y=x2+x﹣2,
点P(﹣,﹣);
②函数图象如图1所示,
联立抛物线与直线表达式
得:
解得x=﹣1或3,
当x=﹣1时,,
当时,
所以点B、C的坐标分别为:(﹣1,﹣2)、(3,10),
故M的横坐标为n(﹣1≤n≤3)时,图象对应的是BC之间的部分,
设点M(n,n2+n﹣2),点Q(n,3n+1),
d=QM=3n+1﹣n2﹣n+2=﹣n2+2n+3,函数的对称轴为:n=1,
当d随n的增大而减少,n≥1,而﹣1≤n≤3,
故1≤n≤3.
(2)点P的坐标为:(﹣m,﹣m2﹣2m),
由点A、H的坐标知,AH=,tanα=4;点P存在在AH左右两侧的情况,如图2所示;
①当点P在AH右侧时,如图,
过点M作MR⊥AH于点R,∠AHP=45°,tanα=4,
设:RM=4x=RH,则AR=x,
则AH=AR+RH=5x=,解得:x=,
则AM=x=,则点M(,0);
由H、M的坐标得直线HM的表达式为:y=﹣x+,
将点P的坐标代入上式并整理得:3m2+34m+88=0,解得:m=﹣4或﹣;
②当点P在AH左侧时,如图,
同理可得:点M(5,0),
则直线HM的表达式为:y=x+,
将点P的坐标代入上式并整理得:7m2+48m+80=0,
解得:m=4或;
综上,抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+8或y=x2﹣x+或y=x2+4x﹣8或y=x2+x﹣.
【题目】描点画图是探究未知函数图象变化规律的一个重要方法.下面是通过描点画图感知函数y=图象的变化规律的过程.
(1)下表是y与x的几组对应值,请完成表格.
x | ﹣1 | ﹣ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
y | 0 | 1 | … |
(2)根据上表中的数据,在平面直角坐标系xOy中描出对应的点,并用平滑的曲线画出该函数的图象;
(3)根据图象,写出两条该函数所具有的性质:
性质① ;
性质② ;
(4)若直线y=x与该函数的图象的交点A的横坐标为a,直接比较a与的大小.
【题目】某书店店主对书店销售情况进行统计,店主根据一个月内平均每天各销售时间段内的销售量,绘制了如下尚不完整的统计图表.
销售情况扇形统计图
销售情况统计表
销售时间段 | 销售数量(本) |
16 | |
37 | |
12 | |
30 | |
合计 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)平均每天的销售总量________,时间段每天的销售数量___________.
(2)求出时间段所在扇形的圆心角的度数.
(3)若该书店一年的销量有32000本,请你估计时间段全年卖出多少本.
(4)若书店决定减少成本,同时保证销量,决定在某时间段闭店,请你提出一条合理化的建议.
【题目】某汽车经销商为了能更好的了解某季度纯电动汽车的续航能力,现分两次不重复的各抽取了10台纯电动车进行了续航里程的测试.并将测试的情况进行整理、描述和分析(续航里程用x表示,共分成四组:(A)100≤x<200,(B)200≤x<300,(C)300≤x<400,(D)x≥400,单位:km).下面给出了部分信息:
第一次抽取10台车的续航里程在C组中的数据是:380,310,300,310.
第二次抽取10台车的续航里程是:220,301,175,310,400,310,385,430,234,455.
第一次测试的续航里程扇形统计图如图
两次测试的续航里程统计表
第一次 | 第二次 | |
平均里程 | 321.4 | b |
中位数 | c | 310 |
众数 | 310 | 310 |
根据以上信息,解答下列问题:
(1)直接写出上述图表中a、b、c的值,a= ,b= ,c .
(2)根据以上数据,你认为这两次测试中的哪一次的纯电动汽车续航能力更强?请说明理由(一条理由即可).
(3)若经销商这一季度共购进1600台纯电动汽车,结合这两次测试,估计这一季度续航能力较强(x≥380)的纯电动汽车有多少辆?