题目内容

【题目】在平面直角坐标系中,点A10),已知抛物线y=x2+mx2mm是常数),顶点为P

1)当抛物线经过点A时.

求顶点P的坐标;

设直线ly=3x+1与抛物线交于BC两点,抛物线上的点M的横坐标为n(﹣1n3),过点Mx轴的垂线,与直线l交于点Q,若MQ=d,当dn的增大而减少时,求n的取值范围.

2)无论m取何值,该抛物线都经过定点H,当∠AHP=45°时,求抛物线的解析式.

【答案】1P(﹣,﹣);②1n3;(2)抛物线的表达式为:y=x24x+8y=x2+4x8

【解析】

1)①将点A的坐标代入抛物线表达式可得m值,再根据抛物线表达式确定顶点P的坐标即可;

②画出函数图象,联立抛物线与直线表达式可得点B、C坐标,易知点M的横坐标为n(﹣1n3)时,图象对应的是BC之间的部分,设点Mnn2+n2),点Qn3n+1),可得d与n的关系式,可知其对称轴为n=1,根据d的增减性可确定n的取值范围;

(2)点P的坐标为:(﹣m,﹣m22m),由点AH的坐标知,AH=tanα=4;点P存在在AH左右两侧的情况,当点PAH右侧时,过点MMRAH于点R,设RM=4x=RH,则AR=x,根据AH=AR+RH可得x值,易知点M坐标,由点HM坐标可得直线HM表达式,将点P坐标代入即可求出m值;②当点PAH左侧时,同理求出点M坐标及直线HM的表达式,将点P坐标代入即可求出m.

解:(1)①将点A10)代入y=x2+mx2m

解得

所以抛物线的表达式为y=x2+x2

P(﹣,﹣);

②函数图象如图1所示,

联立抛物线与直线表达式

得:

解得x=13

x=1时,

时,

所以点BC的坐标分别为:(﹣1,﹣2)、(310),

M的横坐标为n(﹣1n3)时,图象对应的是BC之间的部分,

设点Mnn2+n2),点Qn3n+1),

d=QM=3n+1n2n+2=n2+2n+3,函数的对称轴为:n=1

dn的增大而减少,n1,而﹣1n3

1n3

2)点P的坐标为:(﹣m,﹣m22m),

由点AH的坐标知,AH=tanα=4;点P存在在AH左右两侧的情况,如图2所示;

当点PAH右侧时,如图,

过点MMRAH于点R,∠AHP=45°,tanα=4

设:RM=4x=RH,则AR=x

AH=AR+RH=5x=,解得:x=

AM=x=,则点M0);

HM的坐标得直线HM的表达式为:y=x+

将点P的坐标代入上式并整理得:3m2+34m+88=0,解得:m=4或﹣

②当点PAH左侧时,如图,

同理可得:点M50),

则直线HM的表达式为:y=x+

将点P的坐标代入上式并整理得:7m2+48m+80=0

解得:m=4

综上,抛物线的表达式为:y=x24x+8y=x2x+y=x2+4x8y=x2+x

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