Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A、B两点，DP是⊙O₁的切线，切点为P，直线PD交⊙O₂于C、Q，交AB的延长线于D．
（1）求证：DP²=DC•DQ；
（2）若QA也是⊙O₁的切线，求证：方程x²-2PBx+BC•AB=0有两个相等的实数根；
（3）若点C为PQ的中点，且DP=y，DC=x，求y与x的函数关系式，并求S_△ADC：S_△ACQ的值．

Answer 1

分析：（1）可根据切割线定理进行求解，由于DP是圆O₁的切线，那么DP²=DB•DA=DC•DQ；
（2）要证方程有两个相等的实数根，那么PB²=BC•AB，也就是证三角形BPC和APB相似，可连接AP，通过证两三角形相似来得出本题的结论；
（3）在（1）中已经得出了DP²=DC•DQ，DP=y，CD=x，DQ=PQ-PD=2（PD+DC）-PD=2x+y，由此可得出y、x的函数关系式．
因为三角形ACD和ACQ等高，因此只需得出DC，DQ的比例关系即可得出面积比．上面已经得出了x，y的函数关系式，而DC=x，DQ=2x+y，只需将x、y的函数关系式代入DC：DQ中，即可得出两三角形的面积比．

解答：（1）证明：∵DP是⊙O₁的切线，
∴DP²=DB•DA，
又∵DB•DA=DC•DQ，
∴DP²=DC•DQ．

（2）证明：连接PA．
在△BPC与△APB中，
∵四边形ABCD是⊙O₂的内接四边形，
∴∠PCB=∠QAB，
∵QA是⊙O₁的切线，
∴∠QAB=∠APB，
∴∠PCB=∠APB，
又∵DP是⊙O₁的切线，
∴∠BPC=∠BAP，
∴△BPC∽△APB，
∴

PB

BC

=

AB

PB

，
∴PB²=BC•AB，
而方程x²+2PBx+4BC•AB=0的根的判别式为：
△=（2PB）²-4BC•AB=4（PB²-BC•AB），
∴△=0，
∴原方程有两个相等的实数根．

（3）解：由（1）得DP²=DC•DQ，
∵DP=y，DC=x，C为PQ的中点，
∴DQ=2x+y，
∴y²=x（2x+y），
整理得y²-xy-2x²=0，
∴（x+y）（y-2x）=0，
又∵x＞0，y＞0，
∴x+y≠0，
∴y-2x=0，
故所求函数关系式是：y=2x，
∴S_△ADC：S_△ACD=DC：QC=x：（x+y）=x：3x=1：3．

点评：本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和二次方程的综合应用等知识点，本题有难度．