Question

已知：如图，中，，以为直径的⊙O交于点，
于点．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求的值．

Answer 1

（1）见解析；（2）

解析试题分析：（1）由OB=OP可得∠B=∠OPB，由可得∠B=∠C，即可证得OP∥AC，再结合即可证得结论；
(2)连接AP，根据直径所对是圆周角是直角可得AP⊥BC，再根据等腰三角形的三线合一的性质可得BP=CP，最后利用含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理即可求得结果。
（1）∵OB=OP
∴∠B=∠OPB 
∵
∴∠B=∠C 
∴∠C=∠OPB
∴OP∥AC 
∴∠OPD=∠CDP=90°
∵OP是半径
∴是⊙O的切线；
(2)连接AP

∵AB是直径
∴AP⊥BC
∵
∴BP=CP，∠B=∠C
∵∠CAB=120°
∴∠B=∠C=30°
∴在Rt△ABP中，
在Rt△ABP中，
∴.
考点：本题考查的是切线的判定及性质，勾股定理
点评：解答本题的关键是熟记要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．