题目内容
【题目】基本模型:如图1,点A,F,B在同一直线上,若∠A=∠B=∠EFC=90°,易得△AFE~△BCF.
(1)模型拓展:如图2,点A,F,B在同一直线上,若∠A=∠B=∠EFC,求证:△AFE~△BCF;
(2)拓展应用:如图3,AB是半圆⊙O的直径,弦长AC=BC=4,E,F分别是AC,AB上的一点,若∠CFE=45°,若设AE=y,BF=x,求y与x的函数关系式.
【答案】(1)见解析(2)y=﹣x2+x(0≤x≤8)
【解析】
试题分析:(1)利用已知得出∠E=∠CFB,进而利用相似三角形的判定方法得出即可;
(2)利用(1)得出△AFE∽△BCF,则=,进而求出y与x的函数关系式.
解:(1)证明:如图2,∵∠A=∠EFC,
∴∠E+∠EFA=∠EFA+∠CFB,
∴∠E=∠CFB,
∵∠A=∠B,
∴△AFE∽△BCF;
(2)解:如图3,∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴AB==8,
∵AC=BC,
∴∠A=∠B=45°,
∴∠A=∠B=∠CFE=45°,
由(1)可得△AFE∽△BCF,
∴,
即,
∴y=﹣x2+x(0≤x≤8),
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