题目内容

【题目】如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=6,BD=8,动点P从点B出发,沿着B﹣A﹣D在菱形ABCD的边上运动,运动到点D停止,点P′是点P关于BD的对称点,PP′交BD于点M,若BM=x,△OPP′的面积为y,则y与x之间的函数图象大致为( )

A.
B.
C.
D.

【答案】D
【解析】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,OA= AC=3,OB= BD=4,AC⊥BD,
①当BM≤4时,
∵点P′与点P关于BD对称,
∴P′P⊥BD,
∴P′P∥AC,
∴△P′BP∽△CBA,
,即
∴PP′= x,
∵OM=4﹣x,
∴△OPP′的面积y= PP′OM= × x(4﹣x)=﹣ x2+3x;
∴y与x之间的函数图象是抛物线,开口向下,过(0,0)和(4,0);
②当BM≥4时,y与x之间的函数图象的形状与①中的相同,过(4,0)和(8,0);
综上所述:y与x之间的函数图象大致为
故选:D.
由菱形的性质得出AB=BC=CD=DA,OA= AC=3,OB= BD=4,AC⊥BD,分两种情况:
①当BM≤4时,先证明△P′BP∽△CBA,得出比例式 ,求出PP′,得出△OPP′的面积y是关于x的二次函数,即可得出图象的情形;
②当BM≥4时,y与x之间的函数图象的形状与①中的相同;即可得出结论.

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