Question

【题目】如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，现有下列结论：

①；②；③平分；④．其中正确的有________．（填写序号）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=AD，DF=AD，从而可证明②正确；③若DM平分∠EDF，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD、DC，然后证明△EBD≌△DFC，从而得到BE=FC，从而可证明④．

如图所示：连接BD、DC．

①∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴ED=DF．故①正确．

②∵∠EAC=60°，AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD=30°．

∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°．

∵∠AED=90°，∠EAD=30°，

∴ED=AD．

同理：DF=AD．

∴DE+DF=AD．故②正确．

③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．

假设MD平分∠ADF，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°，

又∵∠E=∠BMD=90°，

∴∠EBM=90°．

∴∠ABC=90°．

∵∠ABC是否等于90°不知道，

∴不能判定MD平分∠EDF．故③错误．

④∵DM是BC的垂直平分线，

∴DB=DC．

在Rt△BED和Rt△CFD中

，

∴Rt△BED≌Rt△CFD．

∴BE=FC．

∴AB+AC=AE-BE+AF+FC

又∵AE=AF，BE=FC，

∴AB+AC=2AE．故④正确．

故答案为①②④