Question

（2012•白下区一模）概念理解
把一个或几个图形分割后，不重叠、无缝隙的重新拼成另一个图形的过程叫做“剖分--重拼”．如图1，一个梯形可以剖分--重拼为一个三角形；如图2，任意两个正方形可以剖分--重拼为一个正方形．
尝试操作
如图3，把三角形剖分--重拼为一个矩形．（只要画出示意图，不需说明操作步骤）

阅读解释
如何把一个矩形ABCD（如图4）剖分--重拼为一个正方形呢？操作如下：
①画辅助图．作射线OX，在射线OX上截取OM=AB，MN=BC．以ON为直径作半圆，过点M作MI⊥射线OX，与半圆交于点I；
②图4中，在CD上取点F，使AF=MI，作BE⊥AF，垂足为E．把△ADF沿射线DC平移到△BCH的位置，把△AEB沿射线AF平移到△FGH的位置，得四边形EBHG．
请说明按照上述操作方法得到的四边形EBHG是正方形．

拓展延伸
任意一个多边形是否可以通过若干次的剖分--重拼成一个正方形？如果可以，请简述操作步骤；如果不可以，请说明理由．

Answer 1

分析：尝试操作：先作三角形的一条中位线，把三角形分成一个三角形与梯形，然后作出分成的三角形的高线，分别平移即可；或者先作一条中位线，然后过一个顶点作第三边的高线，把两个三角形平移即可；
阅读解释：连接OI、NI，先利用相似三角形对应边成比例证明IM²=OM•NM，根据操作方法可得AF²=AB•AD，然后证明△DFA和△EAB相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理可得AF•BE=AB•AD，从而得到AF=BE，再根据四边形EBHG是平行四边形且有一个角是直角即可证明四边形EBHG是正方形；
拓展延伸：把多边形先剖分成若干个三角形，把三角形剖分成矩形，把矩形剖分成正方形，把每两个正方形剖分成一个正方形，最后即可得解．

解答：解：尝试操作，
答案不唯一，如：

阅读解释
在辅助图中，连接OI、NI．
∵ON是所作半圆的直径，
∴∠OIN=90°．
∵MI⊥ON，
∴∠OMI=∠IMN=90°且∠OIM=∠INM．
∴△OIM∽△INM．
∴

OM

IM

=

IM

NM

．
即IM²=OM•NM．…（3分）
在图4中，根据操作方法可知，AF²=AB•AD．
∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AF，
∴DC∥AB，∠ADF=∠BEA=90°．
∴∠DFA=∠EAB．
∴△DFA∽△EAB．
∴

AD

BE

=

AF

AB

．
即AF•BE=AB•AD．（注：用面积法说明也可．）…（4分）
∴AF=BE．…（5分）
即BH=BE．
由操作方法知BE∥GH，BE=GH．
∴四边形EBHG是平行四边形．
∵∠GEB=90°，
∴四边形EBHG是正方形．…（6分）

拓展延伸
可以．采用以下剖分--重拼步骤：
（1）将多边形剖分为若干三角形；
（2）每个三角形剖分--重拼为一个矩形；
（3）每个矩形剖分--重拼为一个正方形；
（4）每两个正方形剖分--重拼为一个正方形．…（10分）

点评：本题考查了利用轴对称作图，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，读懂题目提供的信息并掌握利用是解题的关键．