Question

根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；
16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□²-∅²”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）若用a₁b₁，a₂b₂，…，a_nb_n表示n个乘积，其中a₁，a₂，a₃，…，a_n，b₁，b₂，b₃，…，b_n为正数．试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

Answer 1

分析：利用两数的和与这两数的差的积，就是它们的平方差．如11×29；可想几加几等于29，几减几等于11，可得20+9和20-9，可得11×29=20²-9²，同理思考其它的．

解答：解：（1）11×29=20²-9²；12×28=20²-8²；13×27=20²-7²；
14×26=20²-6²；15×25=20²-5²；16×24=20²-4²；
17×23=20²-3²；18×22=20²-2²；19×21=20²-1²；
20×20=20²-0²．（4分）
例如，11×29；假设11×29=□²-○²，
因为□²-○²=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=20²-9²．（5分）
（或11×29=（20-9）（20+9）=20²-9²．5分）

（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20．（7分）

（3）①若a+b=40，a、b是自然数，则ab≤20²=400．（8分）
②若a+b=40，则ab≤20²=400．（8分）
③若a+b=m，a、b是自然数，则ab≤(

m

2

)2．（9分）
④若a+b=m，则ab≤(

m

2

)2．（9分）
⑤若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=a_n+b_n=40．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥≥|a_n-b_n|，
则a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤≤a_nb_n．（10分）
⑥若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=a_n+b_n=m．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥…≥|a_n-b_n|，
则a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤…≤a_nb_n．（10分）
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③或④之一的得（2分）；
给出结论⑤或⑥之一的得（3分）．

点评：此题主要考查了乘法的平方差公式．即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，这个公式就叫做乘法的平方差公式．