题目内容
【题目】如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是⊙O的切线.
【答案】
(1)解:连接OB,
∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,
∴弧BC与弧AC的度数为:60°,
∴∠BOC=60°,
∵OB=OC,
∴△OBC是等边三角形,
∴BC=OC=2
(2)方法一:
证明:∵OC=CP,BC=OC,
∴BC=CP,
∴∠CBP=∠CPB,
∵△OBC是等边三角形,
∴∠OBC=∠OCB=60°,
∴∠CBP=30°,
∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,
∴OB⊥BP,
∵点B在⊙O上,
∴PB是⊙O的切线.
方法二:
证明:∵OC=CP=2,
∴OP=4,
由(1)可知:BC=OC=2,
∴BC= OP,∠BOC=60°,
∴△OBP是直角三角形,
∴∠OBP=90°,
∴OB⊥BP,
∴PB是⊙O的切线
【解析】(1)首先连接OB,由弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,易证得△OBC是等边三角形,则可求得BC的长;(2)由OC=CP=2,△OBC是等边三角形,可求得BC=CP,即可得∠P=∠CBP,又由等边三角形的性质,∠OBC=60°,∠CBP=30°,则可证得OB⊥BP,继而证得PB是⊙O的切线.