题目内容

【题目】如图,已知P是⊙O外一点,PO交圆O于点C,OC=CP=2,弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,连接PB.
(1)求BC的长;
(2)求证:PB是⊙O的切线.

【答案】
(1)解:连接OB,

∵弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,

∴弧BC与弧AC的度数为:60°,

∴∠BOC=60°,

∵OB=OC,

∴△OBC是等边三角形,

∴BC=OC=2


(2)方法一:

证明:∵OC=CP,BC=OC,

∴BC=CP,

∴∠CBP=∠CPB,

∵△OBC是等边三角形,

∴∠OBC=∠OCB=60°,

∴∠CBP=30°,

∴∠OBP=∠CBP+∠OBC=90°,

∴OB⊥BP,

∵点B在⊙O上,

∴PB是⊙O的切线.

方法二:

证明:∵OC=CP=2,

∴OP=4,

由(1)可知:BC=OC=2,

∴BC= OP,∠BOC=60°,

∴△OBP是直角三角形,

∴∠OBP=90°,

∴OB⊥BP,

∴PB是⊙O的切线


【解析】(1)首先连接OB,由弦AB⊥OC,劣弧AB的度数为120°,易证得△OBC是等边三角形,则可求得BC的长;(2)由OC=CP=2,△OBC是等边三角形,可求得BC=CP,即可得∠P=∠CBP,又由等边三角形的性质,∠OBC=60°,∠CBP=30°,则可证得OB⊥BP,继而证得PB是⊙O的切线.

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