题目内容

【题目】如图,已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).

(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;

(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;

(3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;

(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)y=﹣x2+x+4,x=3;(2)△AOC∽△COB.理由见解析;(3)4;(4)点Q的坐标为(3,4+)或(3,4﹣)或(3,0)

【解析】试题分析:1)把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值,即可得到抛物线解析式,再根据对称轴方程列式计算即可得解;

2)令y=0,解方程求出点A的坐标,令x=0求出y的值得到点C的坐标,再求出OAOBOC,然后根据对应边成比例,夹角相等的两个三角形相似证明;

3)设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出解析式,再表示出MN,然后根据二次函数的最值问题解答;

4)利用勾股定理列式求出AC,过点CCD⊥对称轴于D,然后分①AC=CQ时,利用勾股定理列式求出DQ,分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Qx轴的距离,再写出点的坐标即可;②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=CQ,再写出点Q的坐标即可.

试题解析:1∵点B80)在抛物线y=+bx+4上,

×64+8b+4=0

解得b=

∴抛物线的解析式为y=x2+x+4

对称轴为直线x=

2AOC∽△COB

理由如下:令y=0,则﹣x2+x+4=0

x2﹣6x﹣16=0

解得x1=﹣2x2=8

∴点A的坐标为(﹣20),

x=0,则y=4

∴点C的坐标为(04),

OA=2OB=8OC=4

AOC=COB=90°

∴△AOC∽△COB

3)设直线BC的解析式为y=kx+b

解得

∴直线BC的解析式为y=x+4

MNy轴,

MN=x2+x+4x+4),

=x2+x+4+x4

=x2+2x

=x42+4

∴当x=4时,MN的值最大,最大值为4

4)由勾股定理得,AC==2

过点CCD⊥对称轴于D,则CD=3

AC=CQ时,DQ===

Q在点D的上方时,点Qx轴的距离为4+

此时点Q134+),

Q在点D的下方时,点Qx轴的距离为4

此时点Q234),

②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=5

CQ==5

AQ=CQ

此时,点Q330),

③当AC=AQ时,∵AC=2,点A到对称轴的距离为525∴这种情形不存在.

综上所述,点Q的坐标为(34+)或(34)或(30)时,ACQ为等腰三角形时.

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