题目内容
【题目】如图,已知抛物线y=﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,若已知B点的坐标为B(8,0).
(1)求抛物线的解析式及其对称轴方程;
(2)连接AC、BC,试判断△AOC与△COB是否相似?并说明理由;
(3)M为抛物线上BC之间的一点,N为线段BC上的一点,若MN∥y轴,求MN的最大值;
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使△ACQ为等腰三角形?若存在,求出符合条件的Q点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+4,x=3;(2)△AOC∽△COB.理由见解析;(3)4;(4)点Q的坐标为(3,4+)或(3,4﹣)或(3,0)
【解析】试题分析:(1)把点B的坐标代入抛物线解析式求出b的值,即可得到抛物线解析式,再根据对称轴方程列式计算即可得解;
(2)令y=0,解方程求出点A的坐标,令x=0求出y的值得到点C的坐标,再求出OA、OB、OC,然后根据对应边成比例,夹角相等的两个三角形相似证明;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,利用待定系数法求出解析式,再表示出MN,然后根据二次函数的最值问题解答;
(4)利用勾股定理列式求出AC,过点C作CD⊥对称轴于D,然后分①AC=CQ时,利用勾股定理列式求出DQ,分点Q在点D的上方和下方两种情况求出点Q到x轴的距离,再写出点的坐标即可;②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=CQ,再写出点Q的坐标即可.
试题解析:(1)∵点B(8,0)在抛物线y=﹣+bx+4上,
∴﹣×64+8b+4=0,
解得b= ,
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4,
对称轴为直线x=﹣
(2)△AOC∽△COB.
理由如下:令y=0,则﹣x2+x+4=0,
即x2﹣6x﹣16=0,
解得x1=﹣2,x2=8,
∴点A的坐标为(﹣2,0),
令x=0,则y=4,
∴点C的坐标为(0,4),
∴OA=2,OB=8,OC=4,
∵,∠AOC=∠COB=90°,
∴△AOC∽△COB;
(3)设直线BC的解析式为y=kx+b,
则
解得
∴直线BC的解析式为y=﹣x+4,
∵MN∥y轴,
∴MN=﹣x2+x+4﹣(﹣x+4),
=﹣x2+x+4+x﹣4,
=﹣x2+2x,
=﹣(x﹣4)2+4,
∴当x=4时,MN的值最大,最大值为4;
(4)由勾股定理得,AC==2,
过点C作CD⊥对称轴于D,则CD=3,
①AC=CQ时,DQ===,
点Q在点D的上方时,点Q到x轴的距离为4+,
此时点Q1(3,4+),
点Q在点D的下方时,点Q到x轴的距离为4﹣,
此时点Q2(3,4﹣),
②点Q为对称轴与x轴的交点时,AQ=5,
CQ==5,
∴AQ=CQ,
此时,点Q3(3,0),
③当AC=AQ时,∵AC=2,点A到对称轴的距离为5,2<5,∴这种情形不存在.
综上所述,点Q的坐标为(3,4+)或(3,4﹣)或(3,0)时,△ACQ为等腰三角形时.