Question

已知OABC是一张矩形纸片，AB=6．
（1）如图1，在AB上取一点M，使得△CBM与△CB′M关于CM所在直线对称，点B′恰好在边OA上，且△OB′C的面积为24cm²，求BC的长；
（2）如图2．以O为原点，OA、OC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系．求对称轴CM所在直线的函数关系式；
（3）作B′G∥AB交CM于点G，若抛物线y=

1

6

x²+m过点G，求这条抛物线所对应的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）S_△OB′C=

1

2

OC•OB′=24，可得OB′=8，在三角形OCB′中，根据勾股定理知B′C=BC=10；
（2）由（1）知，C点坐标为（0，6），B′A=OA-OB′=10-8=2，设AM=x，则BM=B'M=6-x，则在Rt△AB′M中，根据勾股定理可列方程，从而求出AM，即可得M点坐标，然后根据待定系数法求出直线CM的解析式．
（3）由（1）知，B点坐标为（8，0），又B′G∥AB，所以G点横坐标为8，因为G也在直线CM上，由（2）可得G点纵坐标，然后把G点坐标代入y=

1

6

x²+m中，求出m，即可解答．

解答：解：（1）如图1，∵△OB′C的面积为24cm²，且OC=AB=6cm．
∴OB′=2×24÷6=8cm
∴B′C=

62+82

=10cm
∴BC=B′C=10cm．

（2）由（1）可知B′A=OA-OB′=10-8=2
设AM=x，则BM=B′M=6-x
由勾股定理可得方程：2²+x²=（6-x）²
解得：x=

8

3

所以M（10，

8

3

），C（0，6）
设CM所在直线的函数关系式为y=kx+b
则

10k+b= 8 3 b=6

，
解得

k=- 1 3 b=6

，
∴CM所在直线的函数关系式为y=-

1

3

x+6．

（3）∵B′G∥AB，OB′=8
∴G点的横坐标为8，
又∵点G在直线CM上，CM关系式为y=-

1

3

x+6
所以G点的纵坐标为y=-

1

3

×8+6=

10

3

即G（8，

10

3

）．
∵抛物线y=

1

6

x²+m过点G，
∴

10

3

=

1

6

×82+m
∴m=-

22

3

所求抛物线的关系式为y=

1

6

x²-

22

3

．

点评：此题主要考查了勾股定理、待定系数法，难易程度适中．