Question

a、b为实数，关于x的方程|x²+ax+b|=2有三个不等的实数根．
（1）求证：a²-4b-8=0；
（2）若该方程的三个不等实根，恰为一个三角形三内角的度数，求证：该三角形必有一个内角60°；
（3）若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值．

Answer 1

分析：（1）由绝对值的意义，原方程可以化为两个方程，又因为原方程有三个根，所以这两个方程中有一个方程是有不等实数根，有一个方程有两相等实数根，用一元二次方程根的判别式进行证明；
（2）根据三角形三内角和为180°，以及一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和求出a的值，然后确定三角形的内角；
（3）根据根与系数的关系，利用勾股定理进行计算，求出a，b的值．

解答：证明：（1）由原方程得：x²+ax+b-2=0①，x²+ax+b+2=0②，
两方程的判别式分别为：△₁=a²-4b+8，△₂=a²-4b-8，
∵原方程有三个根，∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，
即△₁，△₂中必有一个大于0，一个等于0，比较△₁，△₂，显然△₁＞△₂，
∴△₁＞0，△₂=0，
即a²-4b-8=0；

（2）设方程①的两根为x₁，x₂，方程②的根为x₃，则x₁+x₂+x₃=180°，
∵x₁+x₂=-a，x₃=-

a

2

，
∴x₁+x₂+x₃=-

3

2

a=180°，
∴a=-120°，
∴x₃=-

a

2

=60°．
故该三角形中有一个内角为60°；

解：（3）方程①中的两根x₁，x₂必有一个大于方程②中的x₃，而另一个小于x₃，
∴可以设x₁＞x₃＞x₂，则由已知得：x₁²-x₂²=x₃²，即（x₁+x₂）（x₁-x₂）=x₃²．
∴-a•

a2-4(b-2)

=(-

a

2

)2
整理得：a²+4a

a2-4b+8

=0
由（1）有：a²-4b=8代入上式得：a²+16a=0，
∴a₁=0，a₂=-16．
当a=0时，x₃=0，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾，
∴a=-16．
把a=-16代入a²-4b-8=0中，得b=62．
故a=-16，b=62．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，（1）题根据方程的根的情况，用一元二次方程根的判别式进行证明．（2）题根据一元二次方程根与系数的关系以及三角形三内角和是180°进行证明．（3）题根据一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理，并用（1）题中的结论进行计算求出a，b的值．