题目内容
（2009•邵阳）如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；
①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；
②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的
？
【答案】分析：（1）在解析式y=-x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；
（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；
（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．
解答：解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，
，
∴OM=ON=t，
∴S1=
OM•ON=
t2；
（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．
理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN=
=2
，
直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，
易得AB=4
，则
×4
h=4×4×
，
解得h=2
，
故t=2时，点P在l上，
2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．
F点的坐标满足
，即F（t，4-t），
同理E（4-t，t），则PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF，
=
t2-
PE•PF=
t2-
（2t-4）（2t-4）=-
t2+8t-8；
②当0＜t≤2时，S2=
t2，
t2=
，
解得t1=-
＜0，t2=
＞2，两个都不合题意，舍去；
当2＜t≤4时，S2=-
t2+8t-8=
，
解得t3=3，t4=
，
综上得，当t=
或t=3时，S2为△OAB的面积的
．
点评：本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．
（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；
（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．
解答：解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．
∴A（4，0），B（0，4）；
（2）∵MN∥AB，
，∴OM=ON=t，
∴S1=
OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．
理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN=
=2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，
易得AB=4
，则×4h=4×4×，解得h=2
，故t=2时，点P在l上，
2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．
F点的坐标满足
，即F（t，4-t），同理E（4-t，t），则PF=PE=|t-（4-t）|=2t-4，
所以S2=S△MPN-S△PEF=S△OMN-S△PEF，
=
t2-PE•PF=t2-（2t-4）（2t-4）=-t2+8t-8；②当0＜t≤2时，S2=
t2，t2=，解得t1=-
＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=-
t2+8t-8=，解得t3=3，t4=
，综上得，当t=
或t=3时，S2为△OAB的面积的．点评：本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．
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