题目内容
【题目】综合与实践
已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F．
（1）（问题发现）
如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1），
①证明：△ADE≌△BDF；
②猜想：S△DEF+S△CEF＝ S△ABC．
（2）（类比探究）
如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明．
（3）（拓展延伸）
如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明）
【答案】（1）①证明见解析；②
；
（2）上述结论成立；理由见解析；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝
；理由见解析.
【解析】
（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；
（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出△CDE≌△BDF，即可得出结论；
（3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF=
=S△CFE+S△ABC．
解：（1）①∵∠C＝90°，
∴BC⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，
∵∠EDF＝90°，
∴∠ADE+∠BDF＝90°，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠A+∠ADE＝90°，
∴∠A＝∠BDF，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADE和△BDF中
，
∴△ADE≌△BDF（SAS）；
②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形．
设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a．
∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝
a2，
即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；
故答案为：．
（2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，
∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°，
∵∠EDF＝90°，
∴∠CDE＝∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC；
（3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示：
同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135°
∴S△DEF＝S五边形DBFEC，
＝S△CFE+S△DBC，
＝S△CFE+S△ABC，
∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC．
∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC．
