题目内容
我们学习了因式分解之后可以解某些高次方程．例如，一元二次方程x2 + x − 2 = 0可以通过因式分解化为：(x − 1) (x + 2) = 0，则方程的两个解为x = 1和x = −2．反之，如果x = 1是某方程ax2 + bx + c = 0的一个解，则多项式ax2 + bx + c必有一个因式是(x − 1)．
在理解上文的基础上，试找出多项式x3 + x2 − 3x + 1的一个因式，并将这个多项式因式分解．
【答案】
(x2 + 2x − 1)
【解析】解：∵x = 1是方程x3 + x2 − 3x + 1 = 0的一个解，
∴多项式x3 + x2 − 3x + 1的一个因式是x − 1．
设x3 + x2 − 3x + 1 = (x − 1) (x2 + ax − 1)
∴x3 + x2 − 3x + 1 = x3 + ax2 − x2 − ax − x + 1
∴1 = a − 1，− 3 = − a − 1，
∴a = 2，················ （不用待定系数法，说理正确也得分）
∴x3 + x2 − 3x + 1 = (x − 1) (x2 + 2x − 1)
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