Question

如图1，∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AC、AB于D、E两点，连接DE．
（1）当DE=

21

时（如图1），求⊙P的半径；
（2）求线段DE长度的最大值；（如图2）
（3）当线段DE最大时（如图3），MN是⊙P的直径，点G在⊙P上，I是△MNG的内心，GI交P于F，若△MNG内切圆半径为

2

，求弦GF的长．

Answer 1

分析：（1）作⊙P直径DF，再利用勾股定理得出DF²-（

1

2

DF）²=DE²，进而求出DF的长即可得出答案；
（2）由（1）中计算可知，要DE最大就是要DF最大，即是半径PA最大，延长AO交⊙O于P，此时PA最大，首先得出AP的长进而利用由（1）中计算得：

3

4

DF²=DE²，得出DE即可；
（3）利用三角形内心的知识得出△MNF是等腰直角三角形，进而得出MF=IF=

2

PN，由PN=3，IT=

2

，求出即可．

解答：解：（1）如图1，
作⊙P直径DF，
∴∠FED=90°，
∵∠F=∠A=60°
∴∠FDE=30°，
∴DF=2EF，
在Rt△DEF中，由勾股定理得
DF²-（

1

2

DF）²=DE²
∴

3

4

DF²=DE²
∴DF=2

7

，
∴⊙P的半径为

7

；

（2）如图2，作⊙P，连接AP、DF、EF，
由（1）中计算可知，要DE最大就是要DF最大，即是半径PA最大，延长AO交⊙O于P，此时PA最大．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OA=2，AP=3，
∴DF=6，
由（1）中计算得：

3

4

DF²=DE²
∴DE²=

3

4

×36=27，
∴DE=3

3

；

（3）如图3，作IT⊥NG于T，连MF、MI
∵I是△MNG的内心，MN是⊙P的直径
∴∠MGF=∠NGF=45°，∴GI=

2

IT，
∵∠MIF=∠IMG+∠MGI=∠IMG+45°，
∠IMF=∠IMN+∠FMN=∠IMN+45°，
∵I是△MNG的内心，
∴∠IMG=∠IMN，
∴∠MIF=∠IMF，
∴MF=IF，
∵△MNF是等腰直角三角形，
∴MF=IF=

2

PN，
∵PN=3，IT=

2

，
∴GF=3

2

+2．

点评：此题主要考查了勾股定理以及圆周角定理和三角形内心的知识，根据题意利用数形结合得出辅助线进而得出是解题关键．