Question

阅读：如图（1），在△ABC和△DEF中，∠ABC=∠DEF=90°，AB=DE=a，BC=EF=b（a<6），B、Ｃ、D、E四点都在直线m上，点B与点D重合，连接AE、FC，我们可以借助于S_△ACE和S_△FCE的大小关系证明不等式：a²+b²> 2ab（b>a>0）
证明过程如下：
∵BC=b，BE=a，EC=b-a，
∴S_△ACE=EC·AB=（b-a）a，
∴S_△FCE=EC·FE=（b-a）b，
∵b>a>0，
∴S_△FCE >S_△ACE，
即（b-a）b>（b-a）a，
∴b²-ab>ab-a²
∴a²+b²>2ab。
解决下列问题：
（1）现将△DEF沿直线m向右平移，设BD=k（b-a），且0≤k≤1，如图（2），当BD=EC时，k=____，利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a²+b²>2ab（b >a>0）；
（2）用四个与△ABC全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式请你画出一个示意图，并简要说明理由。

                 （1）                                  （2）

Answer 1

解：（1）k=， 证明：如图（1），连接AD、BF， 可得BD=（b-a）， ∴S△ABD=BD·AB=××（b-a）·a=a（b-a）， S△FBD=BD·FE=××（b-a）·b=b（b-a）， ∵b>a>0， ∴S△ABD<S△FBD 即< ∴ab-a2<b2-ab ∴a2+b2>2ab，
（2）答案不唯一， 举例：如图（2），理由： 延长BA、FE交于点I， ∵b>a >0， ∴S矩形IBDE> S矩形ABDG， 即b（b-a）>a（b-a）， ∴b2-ab> ab-a2 ∴a2+b2 >2ab， 举例：如图（3），理由： 四个直角三角形的面积和S1=4×ab=2ab， 大正方形的面积S2=a2+b2 ∵b>a>0， ∴S2>S1 ∴a2+b2>2ab。